[Membre Inconnu]

Perso, voici comment je “sens” les choses: il faut être léger, et qu’aucun lapin (exponentielle -x) ne sorte d’un chapeau, Ce n’est pas la Vérité, c’est juste une sensibilité artisstique:

donc on demande que soit définie sur R, continue sur R, et dérivable sur R

et f'(x)=f(x) (équation a). résoudre une équation différentielle, est appelé “intégrer”, parce que on sait ou on sent que quelque part, toute équation différentielle est une dérivée dont il faut trouver la primitive”, mais laissons tomber cela, que le monsieur au comptoir ne peut deviner.
donc on voit “f'(x)= f(x)”, a force de triturer dans tous les sens, on va écrire

que cette équation revient à écrire f'(x)/f(x) =1

(or f'(x)/f(x)= dérivée de logarithme de f(x))

donc dérivée de logarithme de f(x)= 1 donc

logarithme de f(x) = x + Constante (primitives)

donc f(x) = exponentielle (x+ constante) = constante x exponentielle (x)

—-

ca c’est une résolution, à l’arrache “à la physicienne”
, amis qui a l’avantage de donner l’idée générale rapidement

Un matheux ne divise par par f(x) sans être certain avant que f(x) est non nul

Donc on prend des précautions

a) oui, f(x) = 0 est solution, OK,

b) examinons les autres, donc

une fonction non nulle solution a au moins un point ou sa valeur est non nulle

(sinon elle serait nulle) ce point c’est x°, f(x°) différent de 0

Or autour de x°, dans un intervalle autour de x°, de type ]a,b[ avec a<x°<b

f(x) est forcément non nul

car la fonction est “continue”, elle ne saute pas, donc pour arriver à la valeur f(x°) non nulle

elle doit s’en rapprocher, elle est donc non nulle juste autour de x°

elle ne pourrait pas être nulle avant x° et après x° et d’un seul coup être non nulle

en x°, “ça ne se fait pas” pour une fonction continue

c) donc je me place sur cet intervalle ]a,b[ qui contient x° ( a<x°<b)

pour tous les x de ]a, b[ on a f'(x)/f(x) = 1 OK

d) donc la dérivée de logarithme de valeur absolue de f(x) = 1 = dérivée de x

e) or deux fonctions ayant la même dérivée, diffèrent d’une constante

(démonstration, la différence ds 2 fonctions ayant une dérivée nulle, elle est constante)

f) donc logarithme de valeur absolue de f(x)= x+ constante

g) je prends l’exponentielle des deux côtés

donc valeur absolue de f(x) = exponentielle (x + constante)= exponentielle de x X exponentielle de Constante= exponentielle de x x Constante strictement positive

(car l’exponentielle est strictement positive)

h) donc Ifx)I = C x exponentielle de x, avec C constante strictement positive

i) donc f(x) = C x exponentielle de x , avec C constante strictement positive ou strictement négative

j) donc f(x)= C exponentielle de x, avec C constante non nulle

Ca ce sont les solutions non nulles,

mais attention, on n’a pas fini

on vient juste de démontrer que si une des solutions de l’équation est non nulle en un point x°, alors sur un intervalle autour de x°, il existe un nombre non nul C, tel que f(x) = C exponentielle x

mais maintenant il faut démontrer que cette fonction vaut C x exponentielle (x) en tous les points de R ?

Celui qui fait cela, je lui envoie une bouteille de bon rouge de Bandol !

[byaku]

je précise que mon intention est de prouver que ls maths sont un ART

Je ne pensais pas qu’on devait le prouver ^^ C’est pas communément admis ?

Plus sérieusement … Est-ce que l’un de vous @norbert @grandadais ou toi mon cher traitre à la nation de @pulsar , auriez un ( ou plusieurs ) bon site à me suggérer qui permettrais de retrouver quelques bases que j’ai visiblement perdu en 10 ans d’abstinence ? J’ai eu une forte envie de renouer avec cet art en passant dans la section maths de la cité des sciences de Paris cet été. Merci d’avance 😙

[byaku]

@grandadais Oui je sais … Je finirais surement par me rabattre sur des livres. Mais je demande au cas ou … En mode Jean-Claude Dusse ” On ne sait jamais, sur un malentendu ca peut marcher ” ^^

J’ai déjà dépensé pas loin de 1000 balles en bouquins cette année. Dont au moins 400 balles toujours pas lus d’ailleurs 😅 Je cherchais à gratter quelques économies 🙄

[Membre Inconnu]

@ grandadais

“si le gars accoudé au zinc ne connait pas la fonction logarithme ni ce qu’est une bijection, on n’ira pas loin non plus.”

Tu marques un point, mais on peut répondre ainsi

le gars veut avoir au final f(x) = tant,

or pour transformer f'(x) en f(x), il n’y a pas 36 moyens

on se doute qu’il va falloir prendre une intégrale, quelque part

Donc voici une démonstration encore plus légère où le logarithme apparait encore

plus spontanément, sans aller le chercher (perso je kiffe, comme si c’était un tableau)

Sur le fameux ensemble ]a,b[ où f(x) est non nul, on a

pour tout couple de nombre (u,v) on a dans le sous intervalle fermé [u,v]

f'(x)/f(x) = 1

intégrale de f'(x)/f(x) sur [u,v]= intégrale de 1 sur [u,v]

donc logarithme de valeur absolue de f(v) – logarithme de valeur absolue de f(u)= v-u

donc logarithme de valeur absolue de f(v) -v= logarithme de f(u)-u

donc la fonction logarithme de valeur absolue de f(x) -x prend la même valeur pour tout point x de ]a,b[

par définition, cela signifie que la valeur de logarithme de valeur absolue de f(x) -x

est constante (on ne peut pas trouver 2 valeurs différentes de cette fonction)

donc il existe C appartenant à R tel que pour toux x appartenant à ]a,b[

on ait logarithme de valeur absolue de f(x) -x = C

donc

il existe C appartenant à R tel que pour toux x appartenant à ]a,b[

on ait logarithme de valeur absolue de f(x)= x + C

donc

il existe C appartenant à R tel que pour toux x appartenant à ]a,b[

on ait valeur absolue de f(x)= exponentielle (x + C)= exponentielle * fois exponentielle de C

donc

il existe K (exponentielle C) strictement positif tel que pour toux x appartenant à ]a,b[

on ait valeur absolue de f(x)= K * exponentielle x

donc

il existe L différent de zéro tel que pour toux x appartenant à ]a,b[

on ait f(x)= L * exponentielle x

—–

ensuite il faut montrer que si la fonction vaut L *exponentielle x sur un intervalle ]a,b[ elle

a cette valeur partout sur R

donc tu en déduis que les solutions non nulles sont du type L * exponentielle x

avec L un réel non nul

puis tu rajoutes la fonction nulle qui est égale à O * exponentielle x

et à la fin,
on a

l’équation f’x) = f(x),

équivaut à dire que il existe un nombre réel C, nul ou non nul

tel qu pour toux x, f(x) = C * exponentielle x

[Membre Inconnu]

@grandadais

oui c’est vrai

A] la solution numérique

on suppose que f(x°) = M°

puis on trouve f autour de x°

f(x) = f(x°) +f'(x°) (x-x°)= M° + f(x°) (x-x°)= M°+ M°(x-x°)

c’est ce qu’on appelle la “coulée locale”, comme de la lave qui coule dans ls

vallées des montagnes

B] le développement en série c’est aussi une solution

a) démontrer que si f vérifie f’=f alors on peut la développer en série

b) une condition sur les coefficient te fait trouver an = K/n!

c= in fine f(x)= K sigma x puissance n / factorielle n = K exponentielle

[Membre Inconnu]

@byaku

le meilleur de loin est le site: http://www.les-mathematiques.net/phorum/

(en réalité c’est l’université de maths de Strasbourg)

En effet, tu sais la formule

intégrale f(x,y) dxdy= intégrale g(r,téta) rdrdtéta, soit disant évidente

et le prof de maths sup qui te dit (pub mensongère) on vous le démontrera plus tard

personne ne sait la démontrer

j’ai cherché pendant 10ans, et eux seul savent le faire

avec des “simplex” sortes d’hexagones

[Membre Inconnu]

@granlandais “et ensuite tu démontres de manière à peu près compréhensible (même si au
final je ne vois pas pourquoi un ivrogne s’y retrouverai mieux, compte
tenu de mon message précédent) que la solution de f=f’ au voisinage de
x° est forcément de la forme C.exp(x)”

attention j’ai démontré qu’elle était de la forme C*exponentielle x “au voisinage de x°

il faut justement démontrer que elle vaut cela partout.
c’est une démonstration par l’absurde

[byaku]

@norbert

Merci beaucoup ! J’irais assurément jeter un oeil sur ce site. Je le met dans mes favoris en prévision de ma future motivation à m’y remettre sérieusement. Merci encore de ta réponse

[Membre Inconnu]

merci à senseed, pulsar, grandadais, byaku, verof

Et pour finir en beauté (sauf démonstration “banndol”)

, (et sans moquerie) pour verof:

Si tu as lu, à un moment donné je me moque du prof de physique de maths sup qui te dit “On vous démontrera cela plus tard!”, ne jamais croire une phrase qui finit par “plus tard”

En fait seul ceux qui vont à polytechnique ont les démonstration, les autres “nackash!”. C’est juste que je voulais dire cela, parce que cela m’a pesé pendant des décennie, aucun endroit pour le dire. Et que je n’aime pas la pub mensongère? Et que j’aime que un mensonge soit confondu, plus tard.

Mais je ne vais pas pour autant m’acharner sur les prof de physique de maths sup, ni sur les collègues non zèbres qui comparent ED et LIDL tout le long du repas de midi, ni sur “les soirées Schiappa de 10 filles sans mec”, qui hélas deviennent plus nombreuses que les soirées mixtes (impression, je n’ai pas de chiffre)

Je grossis un peu le trait, juste pour être plus compréhensible, et pour mieux attirer l’œil sur des aspects occultés mais essentiels de notre société, mais par par acharnement.

[Membre Inconnu]

@grandadais

“exp(x) étant une fonction croissante toujours strictement >0, C.exp(x) sera toujours différent de 0. Par conséquent le x° finalement choisi est un point tout à fait quelconque pour cette fonction, puisque tout point de R aurait pu faire office de x°.

J’avais oublié de te répondre pour le concours bouteille de Bandol

Tu n’es pas loin, mais ce passage n’est pas clair (demande à l’ivrogne)

Je te rappelle la situation

au départ f dérivable sur R et f’=f

On sait que sur un intervalle de R disons ]0,1[ pour éclaicir les idéess,

alors Il existe C tel que tout x de ]0,[ f(x) = C*exp(x)

Ok mais qu’est ce qui te prouve que cette fonction vaut aussi C*exp(x) sur le reste de R ?

(avec le même C que sur ]0,1[

peux tu rédiger ce que tu as formulé de façon plus académique, stp?