[Membre Inconnu]

en fait ce n’est pas “il existe C tel que” qu’il faut dire, mais plutôt:

sur cette intervalle la solution est f = C*exp(x), avec C un réel différent de 0.

c’est toujours vrai que f(x)=C*exp(x) si tu poses C=f(x)/exp(x)

ce qu’il faut dire c’est que ce nombre ne varie pas

donc qu’il est choisi pour tout x, donc il existe C tel que pour tout x f(x)=C* exp(x)

[Membre Inconnu]

donc pour tout x’ réel, f=C.exp(x) est solution de f=f’ au voisinage de
x’ ; autrement dit f=C.exp(x) est solution de f=f’ sur R.

tu y est presque, tu as démontré que pour chaque x réel, il y avait un nombre C tel que

f=Cexponentielle autour de x

mais qu’est ce qui te prouve que le “C” obtenu par exemple pour 0, appelé C0

est le même que le C obtenu pour 1, appelé C1 ?

[Membre Inconnu]

@grandadais “on s’en fiche, ça marche pour tout C différent de 0, C est un réel quelconque.”

ce qui fait que ta solution, le C.exp(x) , c’est en fait un ensemble de solution:

{ f telle que f(x) = C*exp(x) | C € R}”

Oui tu as trouvé, non pas une, mais plusieurs solutions, (aleph1 solutions)

les fonctions 0=0exp(x), exp(x), 2exp(x), 0,99546exp(x), -12543,7exp(x),…

mais question Y en t’il d’autres ?

PS C’est important grandadais, car en physique ils raisonnent comme cela “à l’arrache”

mais souvent

soit ils oublient des solutions, soit leur solution n’est pas bonne

car dans la résolution, ils ont divisé par 0 sans s’en rendre compte..

(ils ont divisé par Z qui peut être nul)

Ou ils oublient que le champ magnétique n’est pas défini au point de lantenne

Les maths c’est très rigoureux, plus que le Droit (maths contre droit ca fait diamant contre acier)

Pour répondre à la question: bonne intuition tu as dis que partout la fonction valait

C(x°)*exp(x), il te faut encore montrer que tous les C(x°) sont les mêmes !

Ou alors tu pars d’un x° concret: x°=0

autour de 0, la fonction f vaut C*exp(x), donc f(0)=C donc

autour de 0, la fonction f vaut f=f(0)*exp(x)

essayer par l’absurde de supposer que il y des x réels par exemple supérieurs à 0

, tels que f(x) différents de f(0)*exp(x)

prendre le plus petit d’entre eux x1, donc f(x1) différent de f(0)* exp(x1)

montrer que c’est absurde, il n’ y en a pas!

(et ensuite même raisonnement pour des x négatifs tels que f(x) différents de f(0)*exp(x)

[Membre Inconnu]

Bon en CONCLUSION finale

f = C(0) x exp(x)

on sait que c’est valable, sur un intervalle ]-a, b[ contenant 0,

mais on n’est pas sûr que ce soit valable pour tout R

prends x1 le plus petit nombre positif pour lequel ce ne serait pas valable.

par définition f(x1) différent de C(0) * exp(x1)

(Dans R tous les ensembles ont une borne inférieure, etc…)

tu as -a<0<b<x1

mais comme tu l’as fais remarquer autour de x1, f(x)= c(x1) * exp (x),

mais donc ce serait avec un C(x1) différent de C(0)

pour que f(x1) soit différent de f(0) * exp(x1)

mais dans un intervalle I ouvert “un peu avant x1”, ( du style ]x1-epsilon, x1[)

tu as à la fois f(x)=C(0)*exp(x), parce que ces nombre sont avant x1, le plus petit pour qui ca ne marche pas, donc pour eux ca marche

et f(x)=C(x1)*exp(x) donc C*exp(x)= K*exp(x) sur un petit intervalle placé avant x1

donc c(x1)= C(0) donc f(x1)=C(x1)*exp(x1)=C(0)*exp(x1)

donc tu as à la fois f(x1) différent de C*exp(x1) et aussi f(x1) égal à C*exp(x1) ABSURDE

donc ce n’est pas possible

donc pour tous les x positifs, il n’y en a pas de x tels que f(x) différents de C(0)* exp(x)

___

Sur le point de vue humain: merci aux zèbres d’avoir supporté des maths dans le fil.

merci @senseed et @grandadais pour la fin de l’exercice!

[Membre Inconnu]

@Norbert je trouve que tu es très têtu essaye je te prie d d’écouter les gens ici qui somme toute ont l air bien plus compétent que toi dans le domaine

[pulsar]

@norbert Je crois que tu n’as clairement pas compris un truc :

la solution générale de f'(x) = f(x) est f(x) = C * exp(x), avec C une constante réelle.

Peu importe que C soit égal ou non à zéro, ça ne change strictement rien. Cette solution générale marche pour tout x et pour tout C appartenant à R.

Y a rien de miraculeux là-dedans, c’est une bête équation différentielle d’ordre 1.

Si tu veux de la nouveauté, jette donc un coup d’œil aux équations différentielles d’ordre 2, aux équations aux dérivées partielles, aux opérateurs de Sturm-Liouville et autres polynômes orthogonaux.

Là, il y a de quoi faire ! Et ça va te mener loin, très loin ! Notamment en mécanique quantique et ses applications que sont la chimie, l’atomistique, la physique des matériaux et j’en passe !

[Membre Inconnu]

@grandadais

“or C.exp(x) est toujours différent de 0 et on vérifie facilement qu’au voisinage d’un x’ quelconque, C.exp(x) est solution de f’=f.”

Désolé de poursuivre un peu, juste pour être loyal par rapport à ta bouteille de Bandol

Voici où nous en sommes dans la démonstration

(A) il existe un nombre C tel que pour tout x de R, f(x) = C*exponentielle(x)

(B) f dérivable sur R, et pour tout x de R, f'(x)=f(x)

tout le monde est d’accord sur le fait que le prédicat (A) implique le prédicat (B)

par contre là où c’est incomplet

c’est la démonstration que (B) implique (A)

[Membre Inconnu]

suite: en effet on a montré que si on a (B) alors

pour tout x° appartenant à R il existe un intervalle contenant x° tel que

il existe un nombre réel C appartenant à R pour tout x appartenant à ]a, b[,

f(x)=C*exponentielle(x)

Mais à ce stade ça ne signifie pas que f est de la forme C*exponentielle

En effet, on pourrait avoir comme solution,

la fonction une fonction f ayant la propriété suivante

pour x appartenant à ]-2,-1[ f(x) = -2*exponentielle(x)

pour x appartenant à ]-1,0[ f(x) = -exponentielle(x)

pour x appartenant à ]0,1[ f(x) = 0*exponentielle(x)=0

pour x appartenant à ]1,2[ f(x) = exponentielle(x)

pour x appartenant à ]2,3[ f(x) = 2*exponentielle(x)

d’une façon générale pour tout z entier

pour tout x appartenant à ]z,z+1[, f(x)= z*exponentielle(x)

—

Qu’est ce qui nous prouve, qu’il n’ y a pas une solution de ce genre qui soit solution ?

—

En physique, on tombe sur des fonctions qui parfois n’ont aucune expression

connue (on ne peut pas les écrire avec des fonctions connues, on ne peut que les calculer.

Et parfois on tombe aussi sur une fonction, qui n’a pas la même “expression” partout

par exemple g:

x négatif lui associe 0

x strictement positif lui associe exponentielle (-1/x²)

(remarque cette fonction est définie continue, dérivable en 0 et partout)

[Membre Inconnu]

@grandadais “or C.exp(x) est toujours différent de 0 et on vérifie facilement qu’au voisinage d’un x’ quelconque, C.exp(x) est solution de f’=f.”

Tu es très proche: en effet, en remarquant que pour C différent de 0, C*exp(x) ne s’annule pas

tu peux démontrer “de proche en proche” que (mis à part f=0) toute solution de l’équation ne s’annule pas, et donc tu peux refaire le raisonnement de base:

pour tout x de R f'(x)/f(x)=1,

donc logarithme valeur absolue de f(x)= x+Créel,

donc valeur absolue de f(x)= exponentielle (x+Créel)

donc valeur absolue de f(x)= Kpositif *exponentielle(x)

donc f(x)= Knonnul * exponentielle(x)

—

donc @grandadais, si tu démontrer que mis à part 0, toute solution ne s’annule jamais

c’est bon, on a bien montré la réciproque que (B) implique (A)

(dit autrement, si la solution ne s’annule pas en un seul point, elle ne s’annule jamais sur R)

[Membre Inconnu]

@pulsar

Tu me parles de’équation du second degré, OK

Peut on résoudre, sans sortir les solutions d’un chapeau,

(même localement car on vient de voir comment le local peut s’étendre au global)

l’équation

f définie, 2 fois dérivable sur R et y”+y=0 (

équation d’un circuit électrique avec induction et bobine, de résistance nulle)