Sensibilité artistique dans les maths



  • SensibilitĂ© artistique dans les maths

    5fa97d84f0b53 bpthumb norbert mis Ă  jour Il y a 2 semaines, 5 jours 1 Membre · 1 Publier
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    norbert

    Membre
    8 novembre 2020 Ă  14 h 45 min

    une fonction f tel que f(x) = f'(x), on passe f’ Ă  gauche et on multiplie par (-exp(-x)); on obtient donc : f(x).(-exp(-x)) – f'(x).exp(-x) = 0 [j’ai corrigĂ©]; ce que l’on peut interprĂ©ter comme la dĂ©rivĂ©e d’un produit de fonction de la forme : uv’ + u’v = (u.v)’ = 0 (avec u(x) = f(x) et v(x) = exp(-x)); ce qui donne par intĂ©gration, u.v = C (C constante rĂ©elle, l’intĂ©grale de la fonction nulle) f(x).exp(-x) = C et donc f(x) = C.exp(x) dans l’autre sens, on vĂ©rifie sans souci que C.exp(x) vĂ©rifie f = f’ et donc f = f’ si et seulement si f est de la forme C.exp(x)

    @grandadais Ta dĂ©monstration est techniquement parfaite, sauf que d’un point de vue “artistique”, le spectateur est choquĂ© par l’arrivĂ©e impromptue du facteur exp(-x) dans les calculs.

    Pour que toi ou quiconque puisse gagner le Bandol, voici le problème clarifiĂ©. On cherche f dĂ©rivable sur R, telle que f'(x)=f(x) et f(0)=3. On a dĂ©jĂ  vu que f Ă©tant continue en 0, et y valant 3, elle ne peut valoir f(0)=3 et “juste après 0” ĂŞtre nulle, (elle serait alors discontinue en 0). f est donc obligĂ©e d’ĂŞtre un peu non nulle, juste après 0 et juste avant

    donc sur un petit intervalle I contenant 0, f(x) non nul, donc f'(x)/f(x)=1 et ln(|f(x)|)=x+A, donc |f(x)|=exp(x+A)=exp(x)*exp(A)=B*exp(x) donc f(x)=C*exp(x) avec C non nul

    or f(0)=C=3, donc C=3, donc sur cet intervalle I, on a f(x)=3*exp(x) désires-tu démontrer que f(x)=3*exp(x), non seulement sur ce petit intervalle autour de 0 mais aussi sur R tout entier?

    PS Et effectivement, il faut jouer sur le fait que f(x)=3*exp(x) sur l’intervalle et ne peut s’annuler

     

     


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