[norbert]

Bonjour, un sujet impopulaire s’il en est, mais tant pis, il faut pour ceux qui osent aimer cette “ignoble” matière, avoir le courage de l’assumer.

Je m’excuse pour ceux qui ne connaissent pas la définition des mots “continues” (en gros

la fonction ne saute pas) et “dérivable en tout point”(en gros il y a une tangente à cet endroit là de la courbe. Si certains “masos ” le demandent , ces termes peuvent être expliqués dans le détail

Pour commencer (niveau terminale S)

On cherche une fonction f

définie sur l’ensemble R des réels (tout entier)

continue, dérivable en tout point de R

et telle que sa dérivée soit égale à elle même, c’est à dire f’=f

On peut en citer une ou deux, mais ici, le problème est de les citer TOUTES.

(enfin je suis moi même)

[Anonyme]

Hmmmm, je ne vois que la fonction exponentielle e(x) 🤔🤔.

[pulsar]

Je dirais d’une manière plus générale :

• (1/(a * n)) * e^(a * x^n) avec a et n deux constantes réelles, d’une part ;
• et 0, d’autre part.

Oui, f(x)=0 pour toute valeur de x est bien une fonction continue et dérivable en tout point : c’est une simple droite horizontale. C’est même précisément l’axe des abscisses sur un graphe en 2 dimensions.

[Anonyme]

Hummm @pulsar, pour f(x)=0 j’suis d’accord.

Pour l’autre fonction, d’après la formule (g°f(x))’=f'(x)g'(f(x)) on a f'(x)=an/an*e(ax^n)=e(ax^n) donc different de f(x).

[Anonyme]

et c’est même pas ça, dsl, en fait f'(x)=(anx^(n-1)/an)*e(ax^n)=x^(n-1)*e(ax^n)

(dsl pour les parenthèses)

[pulsar]

@senseed Au temps pour moi, c’est plutôt f(x) = 1 / (a * n * x^(n-1)) * e^(a * x^n)

(Et je plussoie pour les parenthèses : on n’est clairement pas dans une interface faite pour écrire des maths…)

[Anonyme]

@pulsar, loin de moi l’envie de jouer les enquiquineurs, mais je ne crois pas non plus que l’on est dans ce cas f'(x)=f(x), mais clairement f'(x) est super compliquée à trouver, tu as du (uv)’=u’v+uv’ à quoi s’ajoute du (u/v)’=(u’v-uv’)/v^2, et ça me donne un truc de dingue que je n’ai même pas cherché à simplifier. Voilà pour moi 😉

[pulsar]

@senseed Effectivement. Ça fait trop longtemps que je n’ai plus calculé de dérivées…
Donc pour que f'(x) = f(x), il faut donc que f(x) soit de la forme :

• f(x) = (1/a) * e^(a*x), avec a une constante réelle ;
• f(x) = a, avec a une constante (et pas uniquement 0…).

[Anonyme]

Selon moi @pulsar, il n’y a que f(x)=e(x) et f(x)=0.

• pour f(x)=a on a f'(x)=0 donc f(x) different de f'(x)
• pour f(x)=(1/a)e(ax) on a f'(x)=(a/a)e(ax)=e(ax) donc encore différent.

Je comprends, on perd vite les réflexes. Perso j’ai moins de mérite pour en avoir refait l’année dernière à la fac 😉

[grandadais]

@norbert @pulsar

il n’y pas que exp(x) et 0 mais toutes les les fonctions de la formes f(x) = C * exp(x), C étant une constante. avec C=0 ou 1 tu retrouves les deux solutions déjà proposées, mais plus généralement cette forme donne bien toutes les fonctions qui sont égales à leur dérivée. et il n’y en a pas d’autres, ça se démontre bien

[pulsar]

@senseed Décidément, je n’avais pas les yeux tout à fait en face des trous hier soir.

J’aurais dû proposer f(x) = 1/a * e^ax

Et @grandadais tu as également raison. f(x) = C * e^x est bien une autre forme possible à laquelle correspondent les cas f(x) = 0 et f(x) = e^x

Mais, contrairement à ce qu’on pourrait croire, la « fusion » de ces deux formes possibles en f(x) = (C/a) * e^ax n’est pas solution de l’équation f'(x) = f(x) car, dans ce cas précis, f'(x) vaut alors C * e^ax (on perd le facteur 1/a lors de la dérivation)

Tout ça me rappelle mes cours sur les équations aux valeurs propres (utilisées notamment en mécanique quantique…), les opérateurs de Stourm-Liouville, les polynomes orthogonaux,…

[Anonyme]

Je ne sais pas si c’est complètement psychologique car c’est des maths, mais vous parlez coréen pour moi, c’est affligeant 😱

[Anonyme]

@pulsar, dsl je ne voulais vraiment pas être reloud hier, j’espère que tu ne l’as pas pris comme de l’arrogance de ma part, je me suis posé la question après coup 🤔🤔. C’est grandadais qui a raison selon moi, il a réussi à généraliser la fonction en introduisant cette constante.

[pulsar]

@senseed Je ne l’ai pas du tout mal pris, bien au contraire ! C’est après coup que je me suis rendu compte que je m’étais planté…

Par contre grandadais a bien trouvé une autre forme générale de solutions possibles.

[grandadais]

en fait ce n’est pas une autre forme générale, c’est l’unique forme de solution.

à l’intérieur de l’exponentielle il ne faut pas de coefficient (différent de 1), car sinon en dérivant, ce coefficient se retrouvera devant l’exponentielle, et f’ sera forcément différent de f.

————–

pour le démontrer, il faut juste partir de ce que l’on cherche:

à savoir une fonction f tel que f(x) = f'(x)

on passe f’ à gauche et on multiplie par (-exp(-x)), on obtient donc :

f(x).(-exp(-x)) + f'(x).exp(-x) = 0

ce que l’on peut interpréter comme la dérivée d’un produit de fonction de la forme :

uv’ + u’v = (u.v)’ = 0 (avec u(x) = f(x) et v(x) = exp(-x))

ce qui donne par intégration, u.v = C (C constante réelle, l’intégrale de la fonction nulle)

f(x).exp(-x) = C

et donc f(x) = C.exp(x)

dans l’autre sens, on vérifie sans souci que C.exp(x) vérifie f = f’

et donc f = f’ si et seulement si f est de la forme C.exp(x)

voilà, possible que je me trompe, mais là je suis quasi sûr que l’on oublie rien