Section “mathématiques”

  • Section “mathématiques”

    Publié par Membre Inconnu le 30 octobre 2020 à 16 h 07 min

    Bonjour, un sujet impopulaire s’il en est, mais tant pis, il faut pour ceux qui osent aimer cette “ignoble” matière, avoir le courage de l’assumer.

    Je m’excuse pour ceux qui ne connaissent pas la définition des mots “continues” (en gros

    la fonction ne saute pas) et “dérivable en tout point”(en gros il y a une tangente à cet endroit là de la courbe. Si certains “masos ” le demandent , ces termes peuvent être expliqués dans le détail

    Pour commencer (niveau terminale S)

    On cherche une fonction f

    définie sur l’ensemble R des réels (tout entier)

    continue, dérivable en tout point de R

    et telle que sa dérivée soit égale à elle même, c’est à dire f’=f

    On peut en citer une ou deux, mais ici, le problème est de les citer TOUTES.

    (enfin je suis moi même)

    Membre Inconnu a répondu il y a 3 années, 3 mois 6 Membres · 46 Réponses
  • 46 Réponses
  • Membre Inconnu

    Membre
    30 octobre 2020 à 16 h 15 min

    Hmmmm, je ne vois que la fonction exponentielle e(x) 🤔🤔.

  • pulsar

    Membre
    30 octobre 2020 à 21 h 06 min

    Je dirais d’une manière plus générale :

    • (1/(a * n)) * e^(a * x^n) avec a et n deux constantes réelles, d’une part ;
    • et 0, d’autre part.

    Oui, f(x)=0 pour toute valeur de x est bien une fonction continue et dérivable en tout point : c’est une simple droite horizontale. C’est même précisément l’axe des abscisses sur un graphe en 2 dimensions.

  • Membre Inconnu

    Membre
    30 octobre 2020 à 21 h 57 min

    Hummm @pulsar, pour f(x)=0 j’suis d’accord.

    Pour l’autre fonction, d’après la formule (g°f(x))’=f'(x)g'(f(x)) on a f'(x)=an/an*e(ax^n)=e(ax^n) donc different de f(x).

  • Membre Inconnu

    Membre
    30 octobre 2020 à 22 h 00 min

    et c’est même pas ça, dsl, en fait f'(x)=(anx^(n-1)/an)*e(ax^n)=x^(n-1)*e(ax^n)

    (dsl pour les parenthèses)

  • pulsar

    Membre
    30 octobre 2020 à 22 h 16 min

    @senseed Au temps pour moi, c’est plutôt f(x) = 1 / (a * n * x^(n-1)) * e^(a * x^n)

    (Et je plussoie pour les parenthèses : on n’est clairement pas dans une interface faite pour écrire des maths…)

  • Membre Inconnu

    Membre
    30 octobre 2020 à 22 h 51 min

    @pulsar, loin de moi l’envie de jouer les enquiquineurs, mais je ne crois pas non plus que l’on est dans ce cas f'(x)=f(x), mais clairement f'(x) est super compliquée à trouver, tu as du (uv)’=u’v+uv’ à quoi s’ajoute du (u/v)’=(u’v-uv’)/v^2, et ça me donne un truc de dingue que je n’ai même pas cherché à simplifier. Voilà pour moi 😉

  • pulsar

    Membre
    30 octobre 2020 à 23 h 35 min

    @senseed Effectivement. Ça fait trop longtemps que je n’ai plus calculé de dérivées…
    Donc pour que f'(x) = f(x), il faut donc que f(x) soit de la forme :

    • f(x) = (1/a) * e^(a*x), avec a une constante réelle ;
    • f(x) = a, avec a une constante (et pas uniquement 0…).
  • Membre Inconnu

    Membre
    30 octobre 2020 à 23 h 42 min

    Selon moi @pulsar, il n’y a que f(x)=e(x) et f(x)=0.

    • pour f(x)=a on a f'(x)=0 donc f(x) different de f'(x)
    • pour f(x)=(1/a)e(ax) on a f'(x)=(a/a)e(ax)=e(ax) donc encore différent.

    Je comprends, on perd vite les réflexes. Perso j’ai moins de mérite pour en avoir refait l’année dernière à la fac 😉

  • pulsar

    Membre
    31 octobre 2020 à 20 h 29 min

    @senseed Décidément, je n’avais pas les yeux tout à fait en face des trous hier soir.

    J’aurais dû proposer f(x) = 1/a * e^ax

    Et @grandadais tu as également raison. f(x) = C * e^x est bien une autre forme possible à laquelle correspondent les cas f(x) = 0 et f(x) = e^x

    Mais, contrairement à ce qu’on pourrait croire, la « fusion » de ces deux formes possibles en f(x) = (C/a) * e^ax n’est pas solution de l’équation f'(x) = f(x) car, dans ce cas précis, f'(x) vaut alors C * e^ax (on perd le facteur 1/a lors de la dérivation)

    Tout ça me rappelle mes cours sur les équations aux valeurs propres (utilisées notamment en mécanique quantique…), les opérateurs de Stourm-Liouville, les polynomes orthogonaux,…

  • Membre Inconnu

    Membre
    31 octobre 2020 à 20 h 30 min

    Je ne sais pas si c’est complètement psychologique car c’est des maths, mais vous parlez coréen pour moi, c’est affligeant 😱

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