Section « mathématiques »

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    Publié par Membre Inconnu le 30 octobre 2020 à 16 h 07 min

    Bonjour, un sujet impopulaire s’il en est, mais tant pis, il faut pour ceux qui osent aimer cette « ignoble » matière, avoir le courage de l’assumer.

    Je m’excuse pour ceux qui ne connaissent pas la définition des mots « continues » (en gros

    la fonction ne saute pas) et « dérivable en tout point »(en gros il y a une tangente à cet endroit là de la courbe. Si certains « masos  » le demandent , ces termes peuvent être expliqués dans le détail

    Pour commencer (niveau terminale S)

    On cherche une fonction f

    définie sur l’ensemble R des réels (tout entier)

    continue, dérivable en tout point de R

    et telle que sa dérivée soit égale à elle même, c’est à dire f’=f

    On peut en citer une ou deux, mais ici, le problème est de les citer TOUTES.

    (enfin je suis moi même)

    Membre Inconnu a répondu il y a 4 années, 7 mois 6 Membres · 46 Réponses
  • 46 Réponses

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  • Membre Inconnu

    Membre
    30 octobre 2020 à 16 h 15 min

    Hmmmm, je ne vois que la fonction exponentielle e(x) 🤔🤔.

  • pulsar

    Membre
    30 octobre 2020 à 21 h 06 min

    Je dirais d’une manière plus générale :

    • (1/(a * n)) * e^(a * x^n) avec a et n deux constantes réelles, d’une part ;
    • et 0, d’autre part.

    Oui, f(x)=0 pour toute valeur de x est bien une fonction continue et dérivable en tout point : c’est une simple droite horizontale. C’est même précisément l’axe des abscisses sur un graphe en 2 dimensions.

  • Membre Inconnu

    Membre
    30 octobre 2020 à 21 h 57 min

    Hummm @pulsar, pour f(x)=0 j’suis d’accord.

    Pour l’autre fonction, d’après la formule (g°f(x))’=f'(x)g'(f(x)) on a f'(x)=an/an*e(ax^n)=e(ax^n) donc different de f(x).

  • Membre Inconnu

    Membre
    30 octobre 2020 à 22 h 00 min

    et c’est même pas ça, dsl, en fait f'(x)=(anx^(n-1)/an)*e(ax^n)=x^(n-1)*e(ax^n)

    (dsl pour les parenthèses)

  • pulsar

    Membre
    30 octobre 2020 à 22 h 16 min

    @senseed Au temps pour moi, c’est plutôt f(x) = 1 / (a * n * x^(n-1)) * e^(a * x^n)

    (Et je plussoie pour les parenthèses : on n’est clairement pas dans une interface faite pour écrire des maths…)

  • Membre Inconnu

    Membre
    30 octobre 2020 à 22 h 51 min

    @pulsar, loin de moi l’envie de jouer les enquiquineurs, mais je ne crois pas non plus que l’on est dans ce cas f'(x)=f(x), mais clairement f'(x) est super compliquée à trouver, tu as du (uv)’=u’v+uv’ à quoi s’ajoute du (u/v)’=(u’v-uv’)/v^2, et ça me donne un truc de dingue que je n’ai même pas cherché à simplifier. Voilà pour moi 😉

  • pulsar

    Membre
    30 octobre 2020 à 23 h 35 min

    @senseed Effectivement. Ça fait trop longtemps que je n’ai plus calculé de dérivées…
    Donc pour que f'(x) = f(x), il faut donc que f(x) soit de la forme :

    • f(x) = (1/a) * e^(a*x), avec a une constante réelle ;
    • f(x) = a, avec a une constante (et pas uniquement 0…).
  • Membre Inconnu

    Membre
    30 octobre 2020 à 23 h 42 min

    Selon moi @pulsar, il n’y a que f(x)=e(x) et f(x)=0.

    • pour f(x)=a on a f'(x)=0 donc f(x) different de f'(x)
    • pour f(x)=(1/a)e(ax) on a f'(x)=(a/a)e(ax)=e(ax) donc encore différent.

    Je comprends, on perd vite les réflexes. Perso j’ai moins de mérite pour en avoir refait l’année dernière à la fac 😉

  • pulsar

    Membre
    31 octobre 2020 à 20 h 29 min

    @senseed Décidément, je n’avais pas les yeux tout à fait en face des trous hier soir.

    J’aurais dû proposer f(x) = 1/a * e^ax

    Et @grandadais tu as également raison. f(x) = C * e^x est bien une autre forme possible à laquelle correspondent les cas f(x) = 0 et f(x) = e^x

    Mais, contrairement à ce qu’on pourrait croire, la « fusion » de ces deux formes possibles en f(x) = (C/a) * e^ax n’est pas solution de l’équation f'(x) = f(x) car, dans ce cas précis, f'(x) vaut alors C * e^ax (on perd le facteur 1/a lors de la dérivation)

    Tout ça me rappelle mes cours sur les équations aux valeurs propres (utilisées notamment en mécanique quantique…), les opérateurs de Stourm-Liouville, les polynomes orthogonaux,…

  • Membre Inconnu

    Membre
    31 octobre 2020 à 20 h 30 min

    Je ne sais pas si c’est complètement psychologique car c’est des maths, mais vous parlez coréen pour moi, c’est affligeant 😱

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