[Unknown Member]

Hmmmm, je ne vois que la fonction exponentielle e(x) 🤔🤔.

[pulsar]

Je dirais d’une manière plus générale :

• (1/(a * n)) * e^(a * x^n) avec a et n deux constantes réelles, d’une part ;
• et 0, d’autre part.

Oui, f(x)=0 pour toute valeur de x est bien une fonction continue et dérivable en tout point : c’est une simple droite horizontale. C’est même précisément l’axe des abscisses sur un graphe en 2 dimensions.

[Unknown Member]

Hummm @pulsar, pour f(x)=0 j’suis d’accord.

Pour l’autre fonction, d’après la formule (g°f(x))’=f'(x)g'(f(x)) on a f'(x)=an/an*e(ax^n)=e(ax^n) donc different de f(x).

[Unknown Member]

et c’est même pas ça, dsl, en fait f'(x)=(anx^(n-1)/an)*e(ax^n)=x^(n-1)*e(ax^n)

(dsl pour les parenthèses)

[pulsar]

@senseed Au temps pour moi, c’est plutôt f(x) = 1 / (a * n * x^(n-1)) * e^(a * x^n)

(Et je plussoie pour les parenthèses : on n’est clairement pas dans une interface faite pour écrire des maths…)

[Unknown Member]

@pulsar, loin de moi l’envie de jouer les enquiquineurs, mais je ne crois pas non plus que l’on est dans ce cas f'(x)=f(x), mais clairement f'(x) est super compliquée à trouver, tu as du (uv)’=u’v+uv’ à quoi s’ajoute du (u/v)’=(u’v-uv’)/v^2, et ça me donne un truc de dingue que je n’ai même pas cherché à simplifier. Voilà pour moi 😉

[pulsar]

@senseed Effectivement. Ça fait trop longtemps que je n’ai plus calculé de dérivées…
Donc pour que f'(x) = f(x), il faut donc que f(x) soit de la forme :

• f(x) = (1/a) * e^(a*x), avec a une constante réelle ;
• f(x) = a, avec a une constante (et pas uniquement 0…).

[Unknown Member]

Selon moi @pulsar, il n’y a que f(x)=e(x) et f(x)=0.

• pour f(x)=a on a f'(x)=0 donc f(x) different de f'(x)
• pour f(x)=(1/a)e(ax) on a f'(x)=(a/a)e(ax)=e(ax) donc encore différent.

Je comprends, on perd vite les réflexes. Perso j’ai moins de mérite pour en avoir refait l’année dernière à la fac 😉

[pulsar]

@senseed Décidément, je n’avais pas les yeux tout à fait en face des trous hier soir.

J’aurais dû proposer f(x) = 1/a * e^ax

Et @grandadais tu as également raison. f(x) = C * e^x est bien une autre forme possible à laquelle correspondent les cas f(x) = 0 et f(x) = e^x

Mais, contrairement à ce qu’on pourrait croire, la « fusion » de ces deux formes possibles en f(x) = (C/a) * e^ax n’est pas solution de l’équation f'(x) = f(x) car, dans ce cas précis, f'(x) vaut alors C * e^ax (on perd le facteur 1/a lors de la dérivation)

Tout ça me rappelle mes cours sur les équations aux valeurs propres (utilisées notamment en mécanique quantique…), les opérateurs de Stourm-Liouville, les polynomes orthogonaux,…

[Unknown Member]

Je ne sais pas si c’est complètement psychologique car c’est des maths, mais vous parlez coréen pour moi, c’est affligeant 😱