Section “mathĂ©matiques”



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    5fa97d84f0b53 bpthumb norbert mis Ă  jour Il y a 4 semaines 6 Membres · 55 Messages
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    norbert

    Membre
    30 octobre 2020 Ă  16 h 07 min

    Bonjour, un sujet impopulaire s’il en est, mais tant pis, il faut pour ceux qui osent aimer cette “ignoble” matiĂšre, avoir le courage de l’assumer.

    Je m’excuse pour ceux qui ne connaissent pas la dĂ©finition des mots “continues” (en gros

    la fonction ne saute pas) et “dĂ©rivable en tout point”(en gros il y a une tangente Ă  cet endroit lĂ  de la courbe. Si certains “masos ” le demandent , ces termes peuvent ĂȘtre expliquĂ©s dans le dĂ©tail

    Pour commencer (niveau terminale S)

    On cherche une fonction f

    dĂ©finie sur l’ensemble R des rĂ©els (tout entier)

    continue, dérivable en tout point de R

    et telle que sa dĂ©rivĂ©e soit Ă©gale Ă  elle mĂȘme, c’est Ă  dire f’=f

    On peut en citer une ou deux, mais ici, le problĂšme est de les citer TOUTES.

    (enfin je suis moi mĂȘme)

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    Anonyme

    Membre
    30 octobre 2020 Ă  16 h 15 min

    Hmmmm, je ne vois que la fonction exponentielle e(x) đŸ€”đŸ€”.

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    pulsar

    Membre
    30 octobre 2020 Ă  21 h 06 min

    Je dirais d’une maniĂšre plus gĂ©nĂ©rale :

    • (1/(a * n)) * e^(a * x^n) avec a et n deux constantes rĂ©elles, d’une part ;
    • et 0, d’autre part.

    Oui, f(x)=0 pour toute valeur de x est bien une fonction continue et dĂ©rivable en tout point : c’est une simple droite horizontale. C’est mĂȘme prĂ©cisĂ©ment l’axe des abscisses sur un graphe en 2 dimensions.

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    Anonyme

    Membre
    30 octobre 2020 Ă  21 h 57 min

    Hummm @pulsar, pour f(x)=0 j’suis d’accord.

    Pour l’autre fonction, d’aprĂšs la formule (g°f(x))’=f'(x)g'(f(x)) on a f'(x)=an/an*e(ax^n)=e(ax^n) donc different de f(x).

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    Anonyme

    Membre
    30 octobre 2020 Ă  22 h 00 min

    et c’est mĂȘme pas ça, dsl, en fait f'(x)=(anx^(n-1)/an)*e(ax^n)=x^(n-1)*e(ax^n)

    (dsl pour les parenthĂšses)

  • 5f56aab035bf4 bpthumb

    pulsar

    Membre
    30 octobre 2020 Ă  22 h 16 min

    @senseed Au temps pour moi, c’est plutĂŽt f(x) = 1 / (a * n * x^(n-1)) * e^(a * x^n)

    (Et je plussoie pour les parenthĂšses : on n’est clairement pas dans une interface faite pour Ă©crire des maths…)

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    Anonyme

    Membre
    30 octobre 2020 Ă  22 h 51 min

    @pulsar, loin de moi l’envie de jouer les enquiquineurs, mais je ne crois pas non plus que l’on est dans ce cas f'(x)=f(x), mais clairement f'(x) est super compliquĂ©e Ă  trouver, tu as du (uv)’=u’v+uv’ Ă  quoi s’ajoute du (u/v)’=(u’v-uv’)/v^2, et ça me donne un truc de dingue que je n’ai mĂȘme pas cherchĂ© Ă  simplifier. VoilĂ  pour moi 😉

  • 5f56aab035bf4 bpthumb

    pulsar

    Membre
    30 octobre 2020 Ă  23 h 35 min

    @senseed Effectivement. Ça fait trop longtemps que je n’ai plus calculĂ© de dĂ©rivĂ©es…
    Donc pour que f'(x) = f(x), il faut donc que f(x) soit de la forme :

    • f(x) = (1/a) * e^(a*x), avec a une constante rĂ©elle ;
    • f(x) = a, avec a une constante (et pas uniquement 0…).
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    Anonyme

    Membre
    30 octobre 2020 Ă  23 h 42 min

    Selon moi @pulsar, il n’y a que f(x)=e(x) et f(x)=0.

    • pour f(x)=a on a f'(x)=0 donc f(x) different de f'(x)
    • pour f(x)=(1/a)e(ax) on a f'(x)=(a/a)e(ax)=e(ax) donc encore diffĂ©rent.

    Je comprends, on perd vite les rĂ©flexes. Perso j’ai moins de mĂ©rite pour en avoir refait l’annĂ©e derniĂšre Ă  la fac 😉

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    grandadais

    Membre
    31 octobre 2020 Ă  9 h 28 min

    @norbert @pulsar

    il n’y pas que exp(x) et 0 mais toutes les les fonctions de la formes f(x) = C * exp(x), C Ă©tant une constante. avec C=0 ou 1 tu retrouves les deux solutions dĂ©jĂ  proposĂ©es, mais plus gĂ©nĂ©ralement cette forme donne bien toutes les fonctions qui sont Ă©gales Ă  leur dĂ©rivĂ©e. et il n’y en a pas d’autres, ça se dĂ©montre bien

  • 5f56aab035bf4 bpthumb

    pulsar

    Membre
    31 octobre 2020 Ă  20 h 29 min

    @senseed DĂ©cidĂ©ment, je n’avais pas les yeux tout Ă  fait en face des trous hier soir.

    J’aurais dĂ» proposer f(x) = 1/a * e^ax

    Et @grandadais tu as Ă©galement raison. f(x) = C * e^x est bien une autre forme possible Ă  laquelle correspondent les cas f(x) = 0 et f(x) = e^x

    Mais, contrairement Ă  ce qu’on pourrait croire, la « fusion » de ces deux formes possibles en f(x) = (C/a) * e^ax n’est pas solution de l’Ă©quation f'(x) = f(x) car, dans ce cas prĂ©cis, f'(x) vaut alors C * e^ax (on perd le facteur 1/a lors de la dĂ©rivation)

    Tout ça me rappelle mes cours sur les Ă©quations aux valeurs propres (utilisĂ©es notamment en mĂ©canique quantique…), les opĂ©rateurs de Stourm-Liouville, les polynomes orthogonaux,…

  • ?s=80&d=https%3A%2F%2Frencontre surdoue.com%2Fwp content%2Fuploads%2F2017%2F06%2Frencontresurdoue

    Anonyme

    Membre
    31 octobre 2020 Ă  20 h 30 min

    Je ne sais pas si c’est complĂštement psychologique car c’est des maths, mais vous parlez corĂ©en pour moi, c’est affligeant đŸ˜±

  • ?s=80&d=https%3A%2F%2Frencontre surdoue.com%2Fwp content%2Fuploads%2F2017%2F06%2Frencontresurdoue

    Anonyme

    Membre
    31 octobre 2020 Ă  21 h 02 min

    @pulsar, dsl je ne voulais vraiment pas ĂȘtre reloud hier, j’espĂšre que tu ne l’as pas pris comme de l’arrogance de ma part, je me suis posĂ© la question aprĂšs coup đŸ€”đŸ€”. C’est grandadais qui a raison selon moi, il a rĂ©ussi Ă  gĂ©nĂ©raliser la fonction en introduisant cette constante.

  • 5f56aab035bf4 bpthumb

    pulsar

    Membre
    31 octobre 2020 Ă  21 h 30 min

    @senseed Je ne l’ai pas du tout mal pris, bien au contraire ! C’est aprĂšs coup que je me suis rendu compte que je m’Ă©tais plantĂ©…

    Par contre grandadais a bien trouvé une autre forme générale de solutions possibles.

  • 5dea4a538734c bpthumb

    grandadais

    Membre
    31 octobre 2020 Ă  21 h 50 min

    en fait ce n’est pas une autre forme gĂ©nĂ©rale, c’est l’unique forme de solution.

    Ă  l’intĂ©rieur de l’exponentielle il ne faut pas de coefficient (diffĂ©rent de 1), car sinon en dĂ©rivant, ce coefficient se retrouvera devant l’exponentielle, et f’ sera forcĂ©ment diffĂ©rent de f.

    ————–

    pour le dĂ©montrer, il faut juste partir de ce que l’on cherche:

    Ă  savoir une fonction f tel que f(x) = f'(x)

    on passe f’ Ă  gauche et on multiplie par (-exp(-x)), on obtient donc :

    f(x).(-exp(-x)) + f'(x).exp(-x) = 0

    ce que l’on peut interprĂ©ter comme la dĂ©rivĂ©e d’un produit de fonction de la forme :

    uv’ + u’v = (u.v)’ = 0 (avec u(x) = f(x) et v(x) = exp(-x))

    ce qui donne par intĂ©gration, u.v = C (C constante rĂ©elle, l’intĂ©grale de la fonction nulle)

    f(x).exp(-x) = C

    et donc f(x) = C.exp(x)

    dans l’autre sens, on vĂ©rifie sans souci que C.exp(x) vĂ©rifie f = f’

    et donc f = f’ si et seulement si f est de la forme C.exp(x)

    voilĂ , possible que je me trompe, mais lĂ  je suis quasi sĂ»r que l’on oublie rien


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