Une question de logique… (besoin de votre aide !)



  • Une question de logique… (besoin de votre aide !)

    6000162634334 bpthumb sawael mis Ă  jour Il y a 1 mois, 1 semaine 3 Membres · 11 Messages
  • 6000162634334 bpthumb

    sawael

    Membre
    16 janvier 2021 Ă  15 h 23 min

    Je sollicite votre aide pour tenter de rĂ©pondre Ă  une question de logique, et qui me torture l’esprit depuis pas mal de temps. Je pense avoir des Ă©lĂ©ments de rĂ©flexion qui vont dans le bon sens, mais je ne suis pas trop sĂ»r de moi. Je prĂ©fĂ©rerais donc avoir un avis plus large…

    La participation des mathĂ©maticiens et des logiciens est souhaitĂ©e, mais pas que ! Car le fond du problĂšme est plus philosophique qu’il n’y paraĂźt. Je pense que tout le monde peut participer, apporter sa pierre. En sachant qu’il n’y a pas de bonne ou mauvaise rĂ©ponse, ce qui importera sera de connaĂźtre votre cheminement, comment arrivez-vous Ă  cette conclusion ?

    VoilĂ  donc ladite question : l’ensemble des nombres impairs a-t-il comme propriĂ©tĂ© d’ĂȘtre pair ou impair ?

    Je n’approfondis pas plus pour le moment, mais ce problĂšme est plus subtil qu’il n’y paraĂźt. Et selon comment nous l’abordons, cela dĂ©coule sur des implications plus profondes que nous pourrions l’imaginer de prime abord.

    Encore merci pour votre participation ! 😉

  • 6000162634334 bpthumb

    sawael

    Membre
    16 janvier 2021 Ă  19 h 29 min

    Re !^^

    Comme c’est un sujet qui me tient Ă  coeur, je vous propose quelques pistes de rĂ©flexion. Histoire de lancer une petite dynamique… hum… ^^

    DĂ©jĂ , nous pourrions nous dire que ce n’est pas possible de rĂ©pondre, car l’ensemble des nombres impairs est infini. Toute la question sera donc de savoir Ă  quoi “impair” fait rĂ©fĂ©rence. S’agit-il du nombre d’Ă©lĂ©ments ou de leurs valeurs ?

    Sur quelle base va-t-on dĂ©terminer la propriĂ©tĂ© de notre ensemble ? Quelle est la plus “logique” ? Ce sont des questions ouvertes, je n’en sais rien du tout. De mĂȘme, est-ce que faire ici une somme est ce qu’il y a de plus cohĂ©rent pour dĂ©duire la propriĂ©tĂ© de notre ensemble ?

    Si nous partons de ce postulat, dans les deux cas de figure, nous obtenons pair ! Car il ne faut pas oublier les nombres nĂ©gatifs ! Si nous sommons les valeurs positives, nous avons exactement les mĂȘmes en nĂ©gatif, et le rĂ©sultat donnera zĂ©ro (qui est pair).

    Si nous comptons le nombre d’Ă©lĂ©ments (indĂ©pendamment de leur valeur), la logique sera analogue. Car s’il y a bien une infinitĂ© de nombres impairs au-dessus de zĂ©ro, il y en a aussi en-dessous de zĂ©ro. Chaque nombre a son miroir. Le rĂ©sultat sera donc nĂ©cessairement pair (multiple de 2).

    Or lĂ  oĂč ça commence Ă  saigner du nez, c’est lorsque nous “mĂ©ta-pensons”. Car la propriĂ©tĂ© quantitative d’UN ensemble, c’est UN, qui est impair. Et cette propriĂ©tĂ© ne rĂ©flĂšte en rien le contenu, dĂ©jĂ  quantitativement et qualitativement, mais aussi formellement, car tout semble ĂȘtre pair.

    A la question de savoir si faire une somme est ici pertinent, on peut en effet raisonner diffĂ©remment : Ă  savoir raisonner dans l’espace ! On peut penser notre ensemble comme un espace topologique. Car en additionnant des nombres impairs, nous obtenons des carrĂ©s.

    1 = 1ÂČ
    1 + 3 = 2ÂČ
    1 + 3 + 5 = 3ÂČ
    1 + 3 + 5 + 7 = 4ÂČ
    1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5ÂČ
    1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6ÂČ
    1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 7ÂČ

    =====================

    Pour comprendre la logique derriÚre, il suffit de dessiner un carré.

    =====================

    Voici un carré 5 x 5 :

    UUUUU
    HHHHU
    OOOHU
    @@OHU
    #@OHU

    1 (#) + 3 (@) + 5 (O) + 7 (H) + 9 (U) = 25 = 5ÂČ

    On s’aperçoit qu’il y a une symĂ©trie oblique dans notre carrĂ©, c’est la barre diagonale qui ajoute + 1 pour former nos nombres impairs (2x+1).

    ####O
    ###O#
    ##O##
    #O###
    O####

    Je le dis de façon trĂšs maladroite, je ne m’embarrasse pas avec le jargon, c’est pour que tout le monde puisse comprendre ^^

    Et donc, l’inverse d’un carrĂ© n’a pas beaucoup de sens, sauf si encore une fois nous raisonnons dans l’espace. L’un Ă©tant le miroir de l’autre.

    ####O | O####
    ###O# | #O###
    ##O## | ##O##
    #O### | ###O#
    O#### | ####O

    Du coup, l’ensemble ici est un peu analogue au plan. Et comme il y a une structure en symĂ©trie, de toute façon, son contenu sera “pair”, et ce peu importe le volume de nos deux carrĂ©s. Ce qui semble paradoxal, car tous les Ă©lĂ©ments pris individuellement sont impairs. Formellement, je sens qu’il y a un truc qui m’Ă©chappe avec les propriĂ©tĂ©s ou les prĂ©dicats.

    J’avais prĂ©cĂ©demment donnĂ© un autre exemple. Imaginons un ensemble qui soit composĂ© de plusieurs sous-ensembles ayant chacun une couleur prĂ©cise. Le grand ensemble se retrouve Ă  ĂȘtre multicolore, alors que ses Ă©lĂ©ments qui le composent sont unicolores. Entre le contenant et son contenu, nous nous retrouvons avec des propriĂ©tĂ©s contraires. Et lĂ , j’avais captĂ© que le problĂšme venait du langage.

    Car une couleur n’est rien d’autre qu’un rayonnement qui Ă©met dans une certaine bande de frĂ©quence. Il faut imaginer une onde, comme en musique. Du coup, si le grand ensemble possĂšde comme propriĂ©tĂ© une frĂ©quence trĂšs haute, hĂ© bien il contient mathĂ©matiquement toutes les sous-harmoniques des frĂ©quences plus basses, dont celles qui correspondent aux couleurs. Et lĂ , on rĂ©sout ce curieux paradoxe, Ă  savoir que le grand ensemble a une propriĂ©tĂ© qui lui est propre, tout en contenant en elle mĂȘme celle des autres ensembles.

    J’Ă©tais relativement content, mais comme c’est un cas que je n’avais pas vu venir, je me suis demandĂ© s’il n’y en avait pas d’autres. Est-ce que cette façon de penser est gĂ©nĂ©ralisable… Et lĂ , il y a ma petite voix intĂ©rieure qui m’a demandĂ© si l’ensemble des nombres impairs Ă©tait impair lol Je me demande s’il n’y a peut-ĂȘtre pas un problĂšme de langage dans la formulation, mais les termes sont relativement bien dĂ©finis quand mĂȘme…

    D’autres points de vue sont donc les bienvenus ^^

    A cĂŽtĂ© de ça, en chimie ou en physique, nous observons empiriquement des changements de propriĂ©tĂ© en fonction des structures. Et une structure est analogue Ă  un ensemble. Par exemple, un atome de cuivre est un ensemble de 29 nuclĂ©ons, structurĂ©s d’une certaine maniĂšre. Et cela implique que cet Ă©lĂ©ment aura diverses propriĂ©tĂ©s. Ces propriĂ©tĂ©s n’auront rien Ă  voir avec celle du mercure, alors que tous leurs Ă©lĂ©ments ne sont rien d’autres que des nuclĂ©ons (protons, neutrons).

    Est-ce que ce phĂ©nomĂšne s’observe ou se dĂ©duit d’un point de vue formel ou logique, avec des objets abstraits, comme ceux des mathĂ©matiques ? C’est toute la question qui me turlupine… Et je me mĂ©fie des rĂ©ponses un peu trop simples ou Ă©videntes, car par habitude, je sais Ă  quel point les choses peuvent ĂȘtre contre-intuitives… 😀

    VoilĂ Ă Ă Ă Ă  ^^

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    faiseuse-de-foret

    Membre
    16 janvier 2021 Ă  21 h 57 min

    Coucou, la paritĂ© pour moi c’est le fait d’ĂȘtre en deuxiĂšme position d’une liste modulo [1 ; 2]. MathĂ©matiquement ça se vĂ©rifie par la division : il faut qu’il n’y ait pas de chiffre autre que zĂ©ro aprĂšs la virgule.

    Or un ensemble lui-mĂȘme ne peut pas ĂȘtre pair ou impair car :
    — ce n’est pas l’Ă©lĂ©ment d’une liste — dumoins pris tel quel, on pourrait le voir comme le premier & dernier d’une liste d’un seul Ă©lĂ©ment mais dans l’abstrait 1 = 0 de plus je vois que si on voulait faire une liste d’ensembles rien ne prĂ©dit astheure quelle position occuperait notre ensemble ;
    — ce n’est pas un nombre donc il est impossible de le diviser pour en examiner le rĂ©sultat.

    Ce qui force donc @ oublier son essence & considĂ©rer son contenu dont la caractĂ©ristique est d’ĂȘtre infinitĂ©simal. En valeur absolue les nombres entre 0 & 1 Ă©tant miroir de ceux entre 1 & ∞ les trois valeurs les plus importantes sont 0, 1 & ∞ or ∞ venant aprĂšs 1 il est pair comme 1 venant aprĂšs 0 est impair. De mĂȘme si on divise ∞ par 2 le rĂ©sultat est toujours ∞ donc pas de chiffres signifiants aprĂšs la virgule.

    Pour moi quelquechose qui ne peut ĂȘtre prouvĂ© impair s’assimile soit @ zĂ©ro soit @ l’infini donc est pair. VoilĂ  ma façon de voir les choses.

  • 6000162634334 bpthumb

    sawael

    Membre
    17 janvier 2021 Ă  0 h 09 min

    Hey salut ! 🙂

    Merci pour ta participation ! D’autant plus inattendue que je m’attendais Ă  ce que mon sujet coule lentement dans les mĂ©andres abyssales de ce forum ^^

    Je te propose donc une petite rĂ©action Ă  chaud…

    =====================

    ” la paritĂ© pour moi c’est le fait d’ĂȘtre en deuxiĂšme position d’une liste modulo [1 ; 2] “

    => S’il est question de position, nous parlons de nombres cardinaux (nombre d’Ă©lĂ©ments de notre ensemble). C’est un choix qui peut se dĂ©fendre, surtout dans le cadre de la thĂ©orie des ensembles. Et nous pouvons en effet dĂ©finir la paritĂ© tel que pour tout y, y => P si et seulement si { y mod 2 = 0 }. Cela signifie que y est divisible par 2 ^^

    Or comme je l’avais mentionnĂ©, la paritĂ© peut aussi impliquer des symĂ©tries (c’est lĂ©gion en physique des particules ^^). Auquel cas, parler de position est moins Ă©vidente, car c’est la structure dans son ensemble qui prĂ©sente une dualitĂ©. Il n’y a pas un terme avant et un autre aprĂšs.

    =====================

    ” Or un ensemble lui-mĂȘme ne peut pas ĂȘtre pair ou impair car :— ce n’est pas l’Ă©lĂ©ment d’une liste (…)”

    => Il me faudrait peut-ĂȘtre prĂ©ciser quelques dĂ©finitions…

    Df1. Nombre : toute grandeur exprimĂ©e dans un systĂšme ordonnĂ© et codifiĂ© de numĂ©rotation. Les chiffres sont les symboles qui nous permettent d’Ă©crire les nombres.

    Df2. L’unitĂ© : quelque soit le systĂšme ou l’ensemble donnĂ© (K), il existe un seul et unique Ă©lĂ©ment u tel que pour tout x appartenant Ă  K, { u = x / x }

    C’est une dĂ©finition ultra simple, mais je la trouve beaucoup plus mĂ©taphysique et ontologique qu’elle n’y paraĂźt ^^

    Df3. Concept de polaritĂ© : hĂ© bien…

    Il faut avant dĂ©finir le concept de zĂ©ro, pour ensuite justifier la notion de dualitĂ©. Et il y a beaucoup Ă  dire sur le zĂ©ro, car dĂ©jĂ  c’est une valeur intrinsĂšquement relative, tout dĂ©pend du systĂšme de rĂ©fĂ©rence (par exemple, 0°C = 32°F). Avec le concept d’unitĂ©, puis celui du zĂ©ro qui va nous “dire” comment raisonner dans notre systĂšme de rĂ©fĂ©rence, on a de facto l’expression d’une dualitĂ© {0,1} et par extension {-1,0,1} ; ce qui nous donne un passage vers le 2.

    (-1) – (1) = 2

    Ensuite, avec {0, 1, 2}, nous pouvons dĂ©finir formellement tous les autres nombres, par la mĂ©thode que j’ai tentĂ©e de dĂ©crire, avec les nombres impairs. J’essaie de partager ma petite fonction (rha putain c’est la galĂšre pour noter les symboles maths ^^’)

    (voir image)

    =====================

    Bref ! Tout ça pour dire que le simple fait d’Ă©voquer l’existence d’un ensemble, cela exprime une grandeur (dĂ©f1), qui contient en elle-mĂȘme la notion d’unitĂ© (dĂ©f2). Et pour commencer Ă  Ă©voquer une dualitĂ©, il faut nĂ©cessairement un systĂšme de rĂ©fĂ©rence (soit un plan, soit un systĂšme de numĂ©rotation, soit autre chose). Car c’est ce qui donnera sens au concept de zĂ©ro, d’origine (pour un plan), etc.

    Pour le dire autrement, si notre ensemble exprime une grandeur, alors c’est nĂ©cessairement un nombre. Toute la question est de savoir oĂč est la mesure. L’ensemble en lui-mĂȘme est une unitĂ© (par dĂ©f) mais qui peut appartenir Ă  un autre systĂšme, qui sera plus grand. Et notre ensemble contient des Ă©lĂ©ments qui partagent les mĂȘmes propriĂ©tĂ©s et qui sont structurĂ©s de maniĂšre binaire (avec le zĂ©ro). Sauf que le zĂ©ro, en tant que nombre pair, n’appartient pas Ă  cet ensemble. Comme il y a le mĂȘme nombre positif que nĂ©gatif, si nous raisonnons de façon cardinale, l’ensemble ne peut ĂȘtre que pair.

    C’est en contradiction avec l’unitĂ© qu’il exprime, et qui est nĂ©cessairement impaire (1). Et lĂ , je m’aperçois que nous nous heurtons au thĂ©orĂšme d’incomplĂ©tude de Gödel, car un Ă©lĂ©ment seul, en dehors de tout systĂšme, sera dit “indĂ©cidable”. Donc que signifie rĂ©ellement sa propriĂ©tĂ© ? C’est une valeur qui n’a qu’une dĂ©finition formelle, mais on se retrouve un peu bloquĂ© pour lui donner un vĂ©ritable sens. Pour le dire plus simplement, contenant et contenu renvoient Ă  deux systĂšmes diffĂ©rents…

    =====================

    “En valeur absolue les nombres entre 0 & 1 Ă©tant miroir (…)”

    => VoilĂ , je pense que pour donner du sens, nous ne pouvons justement pas raisonner de maniĂšre “absolue” (indĂ©pendamment de toute systĂšme de rĂ©fĂ©rence). MĂȘme les nombres dans le systĂšme dĂ©cimal n’ont de sens que dans le cadre du systĂšme 10. Par exemple, 3 + 4 = 12 sera faux dans le systĂšme dĂ©cimal, mais tout Ă  fait juste en base quinaire (5).

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    sawael

    Membre
    17 janvier 2021 Ă  1 h 18 min

    !Erratum : (-1) – (1) = -2

    ^_^’

  • 5f825ad29183e bpthumb

    faiseuse-de-foret

    Membre
    17 janvier 2021 Ă  2 h 15 min

    Je retiens surtout le fait que l’ensemble & son contenu renvoient @ deux systĂšmes diffĂ©rents avec lequel je suis d’accord. Mais tout dĂ©pend de comment tu dĂ©finis la paritĂ© pour un ensemble. Deux dĂ©finitions peuvent trĂšs bien cohabiter selon le champ dans lequel elles portent· Tu peux te contenter de la solution double ˜l’ensemble est impair par nature & pair de par sa contenance˜˙

    Pour la valeur absolue c’Ă©tait juste une façon de ne pas redire presque la mĂȘme chose deux fois : j’aurais pu dire ‟en valeur relative les nombres entre 0 & -1 Ă©tant miroir de ceux entre -1 & -∞ & ceux entre 0 & 1 Ă©tant miroir de ceux entre 1 & ∞ les cinq valeurs les plus importantes sont -∞, -1, ±0, +1 +∞ […]‟·

    Pour la notation avec un sigma majuscule & des indications en-dessus & en-dessous je la rencontre rĂ©guliĂšrement mais on me l’a jamais apprise donc je ne sais rien en faire.

    PS : Mon message est privé.

  • 6000162634334 bpthumb

    sawael

    Membre
    17 janvier 2021 Ă  13 h 19 min

    @faiseuse-de-foret Merci pour ton retour ! J’ai finalement rĂ©solu ce dilemme hier-soir, en passant simplement par la gĂ©omĂ©trie. Il y avait des enjeux philosophiques derriĂšre cette question, et qui portait aussi en elle des implications scientifiques.

    Mais vu le peu de rĂ©actions, je ne pense pas que ça intĂ©resse grand monde (lol), je vais donc m’Ă©conomiser du temps et me contenter d’un simple dessin ^^ DĂ©jĂ , si nous nous entendons sur le fait que contenant et contenu se rĂ©fĂšre Ă  deux systĂšmes diffĂ©rents, alors le problĂšme vient encore une fois du langage.

    Et comme le gros de la logique repose sur le langage et non sur des faits, bah cela dĂ©coule sur des trucs qui semblent paradoxaux. Et lĂ , je pense que nous pourrions parfaitement reprendre les arguments de Wittgenstein, Ă  la faveur d’un certain physicalisme.

    Imagine un cristal qui diffracte la lumiĂšre. Ses cĂŽtĂ©s auront leur propre couleur, alors que l’ensemble sera multicolore. Dans le langage, il y a une contradiction entre les prĂ©dicats “unicolore” et “multicolore”, alors que physiquement, l’un dĂ©coule de l’autre. Et il n’y a pas de contradictions ou de paradoxes.

    J’avais Ă©voquĂ© les structures atomiques, qui ont toutes des propriĂ©tĂ©s qui leur sont propres, alors qu’elles sont toutes composĂ©es de nuclĂ©ons. D’oĂč ma rĂ©flexion, Ă  savoir : est-ce que nous pouvons dĂ©duire ce mĂȘme changement de propriĂ©tĂ©s, entre le tout et ses parties (dans le jargon mĂ©rĂ©ologique), avec des objets abstraits.

    D’oĂč ma question sur l’ensemble des nombres impairs, mais le rĂ©el problĂšme qui m’intĂ©ressait derriĂšre, n’Ă©tait pas si bien posĂ© que ça Ă  travers cet exemple. C’est juste le premier qui me soit venu Ă  l’esprit ^^ Et comme il y a aussi une histoire d’infini, ça embrouille plus qu’autre chose. Mais ça a eu le mĂ©rite de faire avancer le schmilblick, donc je t’en remercie ^^

    Hier-soir, il y a ces deux dessins qui me sont apparus, et ça a rĂ©glĂ© mon affaire. Il s’agit de deux figures composĂ©es de 3 triangles identitiques. Le triangle a comme propriĂ©tĂ© d’avoir 3 angles. Et nous avons 2 ensembles possibles. Un qui possĂšde la mĂȘme propriĂ©tĂ©. Un autre qui possĂšde 4 angles.

    En fonction de la structure interne, on peut donc modifier la propriĂ©tĂ© de notre ensemble, sans qu’il n’y ait de paradoxes ou de contradictions. Et si elles apparaissent, c’est uniquement Ă  cause du langage et des axiomes qu’on utilise derriĂšre.

    Et pourquoi se poser ces questions, quel est l’intĂ©rĂȘt ? HĂ© bah il porte bien sĂ»r sur le temps ! L’ĂȘtre possĂšde diverses propriĂ©tĂ©s, et qui peuvent ĂȘtre dĂ©duites par le raisonnement logique : illimitĂ©, immuable, Ă©ternel, immanent, etc. Alors que le rĂ©el (le produit de notre sensibilitĂ©) possĂšde des propriĂ©tĂ©s contraires, car il est limitĂ©, changeant, causal, etc.

    Si l’un est illimitĂ© tandis que l’autre est limitĂ©, nous pouvons conclure qu’il s’agit d’un sous-ensemble. Jusque-lĂ , c’est plutĂŽt simple. Sauf que pour les autres propriĂ©tĂ©s, qui concernent toute la question du temps, hĂ© bien il y a un paradoxe formel. J’avais donc rĂ©solu ce paradoxe par une expĂ©rience de pensĂ©e, mais je me suis toujours demandĂ© si ce n’Ă©tait pas juste une pirouette.

    Et ce paradoxe tenait aussi sur cet axiome selon lequel il devait y avoir une adĂ©quation entre les propriĂ©tĂ©s du tout et de ses parties. C’est le paradoxe que nous retrouvons entre ParmĂ©nide (tout est) et HĂ©raclite (tout s’Ă©coule). Autrement dit, comment pense-t-on le temps ? Sauf que je me rencontre seulement maintenant que ce paradoxe ne tient pas, et que des objets ayant telle propriĂ©tĂ©, peuvent trĂšs bien appartenir Ă  un ensemble qui aura des propriĂ©tĂ©s totalement diffĂ©rentes.

    Ce genre de paradoxes se retrouvent aussi dans les contre-argumentations au sujet des diverses “preuves” ontologiques de l’existence de “Dieu”. A savoir : comment un ĂȘtre – non-soumis au temps et Ă  la causalitĂ© – peut-il ĂȘtre cause du temps ? Dans sa variante moins religieuse, nous retrouvons ce mĂȘme problĂšme en astrophysique et en cosmologie. Comment penser une cause au Big-Bang, alors que le temps et l’espace n’existe pas encore ? Et comme le principe de causalitĂ© est liĂ© au temps, il y a donc un paradoxe…

    Bon, je devais faire court lol

    Excellent dimanche !

  • 5f825ad29183e bpthumb

    faiseuse-de-foret

    Membre
    17 janvier 2021 Ă  22 h 35 min

    đŸ±

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    norbert

    Membre
    18 janvier 2021 Ă  15 h 57 min

    @Sawael

    ensemble des nombre impairs a-t-il comme propriĂ©tĂ© d’ĂȘtre pair ou impair ?

    Cette question n’a pas de sens, c’est comme si tu demandais si Racine de 2 Ă©tait pair ou impair.
    En effet la dĂ©finition d’ĂȘtre pair ou impair demande dans les condition au “candidat” Ă  la paritĂ© ou imparitĂ©, d’ĂȘtre un nombre entier, naturel (positif) ou relatif (positif ou nĂ©gatif)

    la dĂ©finition exacte (conditions demandĂ©es au candidat, pour “ĂȘtre impair”

    A] ĂȘtre un entier relatif

    B] qu’il existe un autre entier tel que le candidat soit deux fois cet entier plus un

    par conséquent un ensemble (de nombre impairs par exemple) ne pourra jamais

    ĂȘtre lui mĂȘme pair, puisqu’il ne vĂ©rifiera pas la condition A

  • 5fe5ef6422433 bpthumb

    norbert

    Membre
    18 janvier 2021 Ă  17 h 00 min

    @Sawael

    faiseuse de foret vient Ă  ton secours en “Ă©tendant” la notion de multiplication et d’adition

    en dehors des nombres

    par exemple Si N est l’ensemble des naturels, 3 x N est l’ensemble des triples d’entiers

    N= [0, 1, 2, 3,….}, 3x N= [0, 3, 6, 9,…}

    et que Si A est un ensemble, A+1 est l’ensemble des nombres de la forme

    un élément de A +1, exemple A= {4, 8, 90}, A+1= {5, 91 , 91}

    Ok donc dans ce cas lĂ  on pourrait dire que l’ensemble des nombre pairs

    c’est 2 fois N (entiers natures)

    et que l’ensemble des nombres impairs c’est 2 x N +1


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