[sawael]

Je sollicite votre aide pour tenter de répondre à une question de logique, et qui me torture l’esprit depuis pas mal de temps. Je pense avoir des éléments de réflexion qui vont dans le bon sens, mais je ne suis pas trop sûr de moi. Je préférerais donc avoir un avis plus large…

La participation des mathématiciens et des logiciens est souhaitée, mais pas que ! Car le fond du problème est plus philosophique qu’il n’y paraît. Je pense que tout le monde peut participer, apporter sa pierre. En sachant qu’il n’y a pas de bonne ou mauvaise réponse, ce qui importera sera de connaître votre cheminement, comment arrivez-vous à cette conclusion ?

Voilà donc ladite question : l’ensemble des nombres impairs a-t-il comme propriété d’être pair ou impair ?

Je n’approfondis pas plus pour le moment, mais ce problème est plus subtil qu’il n’y paraît. Et selon comment nous l’abordons, cela découle sur des implications plus profondes que nous pourrions l’imaginer de prime abord.

Encore merci pour votre participation ! 😉

[sawael]

Re !^^

Comme c’est un sujet qui me tient à coeur, je vous propose quelques pistes de réflexion. Histoire de lancer une petite dynamique… hum… ^^

Déjà, nous pourrions nous dire que ce n’est pas possible de répondre, car l’ensemble des nombres impairs est infini. Toute la question sera donc de savoir à quoi “impair” fait référence. S’agit-il du nombre d’éléments ou de leurs valeurs ?

Sur quelle base va-t-on déterminer la propriété de notre ensemble ? Quelle est la plus “logique” ? Ce sont des questions ouvertes, je n’en sais rien du tout. De même, est-ce que faire ici une somme est ce qu’il y a de plus cohérent pour déduire la propriété de notre ensemble ?

Si nous partons de ce postulat, dans les deux cas de figure, nous obtenons pair ! Car il ne faut pas oublier les nombres négatifs ! Si nous sommons les valeurs positives, nous avons exactement les mêmes en négatif, et le résultat donnera zéro (qui est pair).

Si nous comptons le nombre d’éléments (indépendamment de leur valeur), la logique sera analogue. Car s’il y a bien une infinité de nombres impairs au-dessus de zéro, il y en a aussi en-dessous de zéro. Chaque nombre a son miroir. Le résultat sera donc nécessairement pair (multiple de 2).

Or là où ça commence à saigner du nez, c’est lorsque nous “méta-pensons”. Car la propriété quantitative d’UN ensemble, c’est UN, qui est impair. Et cette propriété ne réflète en rien le contenu, déjà quantitativement et qualitativement, mais aussi formellement, car tout semble être pair.

A la question de savoir si faire une somme est ici pertinent, on peut en effet raisonner différemment : à savoir raisonner dans l’espace ! On peut penser notre ensemble comme un espace topologique. Car en additionnant des nombres impairs, nous obtenons des carrés.

1 = 1²
1 + 3 = 2²
1 + 3 + 5 = 3²
1 + 3 + 5 + 7 = 4²
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5²
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6²
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 7²

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Pour comprendre la logique derrière, il suffit de dessiner un carré.

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Voici un carré 5 x 5 :

UUUUU
HHHHU
OOOHU
@@OHU
#@OHU

1 (#) + 3 (@) + 5 (O) + 7 (H) + 9 (U) = 25 = 5²

On s’aperçoit qu’il y a une symétrie oblique dans notre carré, c’est la barre diagonale qui ajoute + 1 pour former nos nombres impairs (2x+1).

####O
###O#
##O##
#O###
O####

Je le dis de façon très maladroite, je ne m’embarrasse pas avec le jargon, c’est pour que tout le monde puisse comprendre ^^

Et donc, l’inverse d’un carré n’a pas beaucoup de sens, sauf si encore une fois nous raisonnons dans l’espace. L’un étant le miroir de l’autre.

####O | O####
###O# | #O###
##O## | ##O##
#O### | ###O#
O#### | ####O

Du coup, l’ensemble ici est un peu analogue au plan. Et comme il y a une structure en symétrie, de toute façon, son contenu sera “pair”, et ce peu importe le volume de nos deux carrés. Ce qui semble paradoxal, car tous les éléments pris individuellement sont impairs. Formellement, je sens qu’il y a un truc qui m’échappe avec les propriétés ou les prédicats.

J’avais précédemment donné un autre exemple. Imaginons un ensemble qui soit composé de plusieurs sous-ensembles ayant chacun une couleur précise. Le grand ensemble se retrouve à être multicolore, alors que ses éléments qui le composent sont unicolores. Entre le contenant et son contenu, nous nous retrouvons avec des propriétés contraires. Et là, j’avais capté que le problème venait du langage.

Car une couleur n’est rien d’autre qu’un rayonnement qui émet dans une certaine bande de fréquence. Il faut imaginer une onde, comme en musique. Du coup, si le grand ensemble possède comme propriété une fréquence très haute, hé bien il contient mathématiquement toutes les sous-harmoniques des fréquences plus basses, dont celles qui correspondent aux couleurs. Et là, on résout ce curieux paradoxe, à savoir que le grand ensemble a une propriété qui lui est propre, tout en contenant en elle même celle des autres ensembles.

J’étais relativement content, mais comme c’est un cas que je n’avais pas vu venir, je me suis demandé s’il n’y en avait pas d’autres. Est-ce que cette façon de penser est généralisable… Et là, il y a ma petite voix intérieure qui m’a demandé si l’ensemble des nombres impairs était impair lol Je me demande s’il n’y a peut-être pas un problème de langage dans la formulation, mais les termes sont relativement bien définis quand même…

D’autres points de vue sont donc les bienvenus ^^

A côté de ça, en chimie ou en physique, nous observons empiriquement des changements de propriété en fonction des structures. Et une structure est analogue à un ensemble. Par exemple, un atome de cuivre est un ensemble de 29 nucléons, structurés d’une certaine manière. Et cela implique que cet élément aura diverses propriétés. Ces propriétés n’auront rien à voir avec celle du mercure, alors que tous leurs éléments ne sont rien d’autres que des nucléons (protons, neutrons).

Est-ce que ce phénomène s’observe ou se déduit d’un point de vue formel ou logique, avec des objets abstraits, comme ceux des mathématiques ? C’est toute la question qui me turlupine… Et je me méfie des réponses un peu trop simples ou évidentes, car par habitude, je sais à quel point les choses peuvent être contre-intuitives… 😀

Voilààààà ^^

[faiseuse-de-foret]

Coucou, la parité pour moi c’est le fait d’être en deuxième position d’une liste modulo [1 ; 2]. Mathématiquement ça se vérifie par la division : il faut qu’il n’y ait pas de chiffre autre que zéro après la virgule.

Or un ensemble lui-même ne peut pas être pair ou impair car :
— ce n’est pas l’élément d’une liste — dumoins pris tel quel, on pourrait le voir comme le premier & dernier d’une liste d’un seul élément mais dans l’abstrait 1 = 0 de plus je vois que si on voulait faire une liste d’ensembles rien ne prédit astheure quelle position occuperait notre ensemble ;
— ce n’est pas un nombre donc il est impossible de le diviser pour en examiner le résultat.

Ce qui force donc @ oublier son essence & considérer son contenu dont la caractéristique est d’être infinitésimal. En valeur absolue les nombres entre 0 & 1 étant miroir de ceux entre 1 & ∞ les trois valeurs les plus importantes sont 0, 1 & ∞ or ∞ venant après 1 il est pair comme 1 venant après 0 est impair. De même si on divise ∞ par 2 le résultat est toujours ∞ donc pas de chiffres signifiants après la virgule.

Pour moi quelquechose qui ne peut être prouvé impair s’assimile soit @ zéro soit @ l’infini donc est pair. Voilà ma façon de voir les choses.

[sawael]

Hey salut ! 🙂

Merci pour ta participation ! D’autant plus inattendue que je m’attendais à ce que mon sujet coule lentement dans les méandres abyssales de ce forum ^^

Je te propose donc une petite réaction à chaud…

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” la parité pour moi c’est le fait d’être en deuxième position d’une liste modulo [1 ; 2] “

=> S’il est question de position, nous parlons de nombres cardinaux (nombre d’éléments de notre ensemble). C’est un choix qui peut se défendre, surtout dans le cadre de la théorie des ensembles. Et nous pouvons en effet définir la parité tel que pour tout y, y => P si et seulement si { y mod 2 = 0 }. Cela signifie que y est divisible par 2 ^^

Or comme je l’avais mentionné, la parité peut aussi impliquer des symétries (c’est légion en physique des particules ^^). Auquel cas, parler de position est moins évidente, car c’est la structure dans son ensemble qui présente une dualité. Il n’y a pas un terme avant et un autre après.

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” Or un ensemble lui-même ne peut pas être pair ou impair car :— ce n’est pas l’élément d’une liste (…)”

=> Il me faudrait peut-être préciser quelques définitions…

Df1. Nombre : toute grandeur exprimée dans un système ordonné et codifié de numérotation. Les chiffres sont les symboles qui nous permettent d’écrire les nombres.

Df2. L’unité : quelque soit le système ou l’ensemble donné (K), il existe un seul et unique élément u tel que pour tout x appartenant à K, { u = x / x }

C’est une définition ultra simple, mais je la trouve beaucoup plus métaphysique et ontologique qu’elle n’y paraît ^^

Df3. Concept de polarité : hé bien…

Il faut avant définir le concept de zéro, pour ensuite justifier la notion de dualité. Et il y a beaucoup à dire sur le zéro, car déjà c’est une valeur intrinsèquement relative, tout dépend du système de référence (par exemple, 0°C = 32°F). Avec le concept d’unité, puis celui du zéro qui va nous “dire” comment raisonner dans notre système de référence, on a de facto l’expression d’une dualité {0,1} et par extension {-1,0,1} ; ce qui nous donne un passage vers le 2.

(-1) – (1) = 2

Ensuite, avec {0, 1, 2}, nous pouvons définir formellement tous les autres nombres, par la méthode que j’ai tentée de décrire, avec les nombres impairs. J’essaie de partager ma petite fonction (rha putain c’est la galère pour noter les symboles maths ^^’)

(voir image)

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Bref ! Tout ça pour dire que le simple fait d’évoquer l’existence d’un ensemble, cela exprime une grandeur (déf1), qui contient en elle-même la notion d’unité (déf2). Et pour commencer à évoquer une dualité, il faut nécessairement un système de référence (soit un plan, soit un système de numérotation, soit autre chose). Car c’est ce qui donnera sens au concept de zéro, d’origine (pour un plan), etc.

Pour le dire autrement, si notre ensemble exprime une grandeur, alors c’est nécessairement un nombre. Toute la question est de savoir où est la mesure. L’ensemble en lui-même est une unité (par déf) mais qui peut appartenir à un autre système, qui sera plus grand. Et notre ensemble contient des éléments qui partagent les mêmes propriétés et qui sont structurés de manière binaire (avec le zéro). Sauf que le zéro, en tant que nombre pair, n’appartient pas à cet ensemble. Comme il y a le même nombre positif que négatif, si nous raisonnons de façon cardinale, l’ensemble ne peut être que pair.

C’est en contradiction avec l’unité qu’il exprime, et qui est nécessairement impaire (1). Et là, je m’aperçois que nous nous heurtons au théorème d’incomplétude de Gödel, car un élément seul, en dehors de tout système, sera dit “indécidable”. Donc que signifie réellement sa propriété ? C’est une valeur qui n’a qu’une définition formelle, mais on se retrouve un peu bloqué pour lui donner un véritable sens. Pour le dire plus simplement, contenant et contenu renvoient à deux systèmes différents…

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“En valeur absolue les nombres entre 0 & 1 étant miroir (…)”

=> Voilà, je pense que pour donner du sens, nous ne pouvons justement pas raisonner de manière “absolue” (indépendamment de toute système de référence). Même les nombres dans le système décimal n’ont de sens que dans le cadre du système 10. Par exemple, 3 + 4 = 12 sera faux dans le système décimal, mais tout à fait juste en base quinaire (5).

[sawael]

!Erratum : (-1) – (1) = -2

^_^’

[faiseuse-de-foret]

Je retiens surtout le fait que l’ensemble & son contenu renvoient @ deux systèmes différents avec lequel je suis d’accord. Mais tout dépend de comment tu définis la parité pour un ensemble. Deux définitions peuvent très bien cohabiter selon le champ dans lequel elles portent· Tu peux te contenter de la solution double ˜l’ensemble est impair par nature & pair de par sa contenance˜˙

Pour la valeur absolue c’était juste une façon de ne pas redire presque la même chose deux fois : j’aurais pu dire ‾en valeur relative les nombres entre 0 & -1 étant miroir de ceux entre -1 & -∞ & ceux entre 0 & 1 étant miroir de ceux entre 1 & ∞ les cinq valeurs les plus importantes sont -∞, -1, ±0, +1 +∞ […]‾·

Pour la notation avec un sigma majuscule & des indications en-dessus & en-dessous je la rencontre régulièrement mais on me l’a jamais apprise donc je ne sais rien en faire.

PS : Mon message est privé.

[sawael]

@faiseuse-de-foret Merci pour ton retour ! J’ai finalement résolu ce dilemme hier-soir, en passant simplement par la géométrie. Il y avait des enjeux philosophiques derrière cette question, et qui portait aussi en elle des implications scientifiques.

Mais vu le peu de réactions, je ne pense pas que ça intéresse grand monde (lol), je vais donc m’économiser du temps et me contenter d’un simple dessin ^^ Déjà, si nous nous entendons sur le fait que contenant et contenu se réfère à deux systèmes différents, alors le problème vient encore une fois du langage.

Et comme le gros de la logique repose sur le langage et non sur des faits, bah cela découle sur des trucs qui semblent paradoxaux. Et là, je pense que nous pourrions parfaitement reprendre les arguments de Wittgenstein, à la faveur d’un certain physicalisme.

Imagine un cristal qui diffracte la lumière. Ses côtés auront leur propre couleur, alors que l’ensemble sera multicolore. Dans le langage, il y a une contradiction entre les prédicats “unicolore” et “multicolore”, alors que physiquement, l’un découle de l’autre. Et il n’y a pas de contradictions ou de paradoxes.

J’avais évoqué les structures atomiques, qui ont toutes des propriétés qui leur sont propres, alors qu’elles sont toutes composées de nucléons. D’où ma réflexion, à savoir : est-ce que nous pouvons déduire ce même changement de propriétés, entre le tout et ses parties (dans le jargon méréologique), avec des objets abstraits.

D’où ma question sur l’ensemble des nombres impairs, mais le réel problème qui m’intéressait derrière, n’était pas si bien posé que ça à travers cet exemple. C’est juste le premier qui me soit venu à l’esprit ^^ Et comme il y a aussi une histoire d’infini, ça embrouille plus qu’autre chose. Mais ça a eu le mérite de faire avancer le schmilblick, donc je t’en remercie ^^

Hier-soir, il y a ces deux dessins qui me sont apparus, et ça a réglé mon affaire. Il s’agit de deux figures composées de 3 triangles identitiques. Le triangle a comme propriété d’avoir 3 angles. Et nous avons 2 ensembles possibles. Un qui possède la même propriété. Un autre qui possède 4 angles.

En fonction de la structure interne, on peut donc modifier la propriété de notre ensemble, sans qu’il n’y ait de paradoxes ou de contradictions. Et si elles apparaissent, c’est uniquement à cause du langage et des axiomes qu’on utilise derrière.

Et pourquoi se poser ces questions, quel est l’intérêt ? Hé bah il porte bien sûr sur le temps ! L’être possède diverses propriétés, et qui peuvent être déduites par le raisonnement logique : illimité, immuable, éternel, immanent, etc. Alors que le réel (le produit de notre sensibilité) possède des propriétés contraires, car il est limité, changeant, causal, etc.

Si l’un est illimité tandis que l’autre est limité, nous pouvons conclure qu’il s’agit d’un sous-ensemble. Jusque-là, c’est plutôt simple. Sauf que pour les autres propriétés, qui concernent toute la question du temps, hé bien il y a un paradoxe formel. J’avais donc résolu ce paradoxe par une expérience de pensée, mais je me suis toujours demandé si ce n’était pas juste une pirouette.

Et ce paradoxe tenait aussi sur cet axiome selon lequel il devait y avoir une adéquation entre les propriétés du tout et de ses parties. C’est le paradoxe que nous retrouvons entre Parménide (tout est) et Héraclite (tout s’écoule). Autrement dit, comment pense-t-on le temps ? Sauf que je me rencontre seulement maintenant que ce paradoxe ne tient pas, et que des objets ayant telle propriété, peuvent très bien appartenir à un ensemble qui aura des propriétés totalement différentes.

Ce genre de paradoxes se retrouvent aussi dans les contre-argumentations au sujet des diverses “preuves” ontologiques de l’existence de “Dieu”. A savoir : comment un être – non-soumis au temps et à la causalité – peut-il être cause du temps ? Dans sa variante moins religieuse, nous retrouvons ce même problème en astrophysique et en cosmologie. Comment penser une cause au Big-Bang, alors que le temps et l’espace n’existe pas encore ? Et comme le principe de causalité est lié au temps, il y a donc un paradoxe…

Bon, je devais faire court lol

Excellent dimanche !

[faiseuse-de-foret]

🐱

[norbert]

@Sawael

ensemble des nombre impairs a-t-il comme propriété d’être pair ou impair ?

Cette question n’a pas de sens, c’est comme si tu demandais si Racine de 2 était pair ou impair.
En effet la définition d’être pair ou impair demande dans les condition au “candidat” à la parité ou imparité, d’être un nombre entier, naturel (positif) ou relatif (positif ou négatif)

la définition exacte (conditions demandées au candidat, pour “être impair”

A] être un entier relatif

B] qu’il existe un autre entier tel que le candidat soit deux fois cet entier plus un

par conséquent un ensemble (de nombre impairs par exemple) ne pourra jamais

être lui même pair, puisqu’il ne vérifiera pas la condition A

[norbert]

@Sawael

faiseuse de foret vient à ton secours en “étendant” la notion de multiplication et d’adition

en dehors des nombres

par exemple Si N est l’ensemble des naturels, 3 x N est l’ensemble des triples d’entiers

N= [0, 1, 2, 3,….}, 3x N= [0, 3, 6, 9,…}

et que Si A est un ensemble, A+1 est l’ensemble des nombres de la forme

un élément de A +1, exemple A= {4, 8, 90}, A+1= {5, 91 , 91}

Ok donc dans ce cas là on pourrait dire que l’ensemble des nombre pairs

c’est 2 fois N (entiers natures)

et que l’ensemble des nombres impairs c’est 2 x N +1