Somme des n premiers nombres impairs

  • Somme des n premiers nombres impairs

    Posted by Usager supprimé on 18 janvier 2021 à 16 h 39 min

    @sawael, inspiré de ton triangle

    1 = 1²
    1 + 3 = 2²
    1 + 3 + 5 = 3²
    1 + 3 + 5 + 7 = 4²
    1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5²
    1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6²
    1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 7²

    Donc il s’agit de montrer que la somme des n premiers impairs est un carré

    (et si possible quel carré?)

    faiseuse-de-foret a répondu il y a 1 année, 6 mois 6 Membres · 27 Réponses
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    Usager supprimé

    Membre
    19 janvier 2021 à 13 h 14 min

    @grandadais

    Parfait !

    juste pour mettre mon petit grain de sel personnel:

    Ceci est du cours, je n’invente rien, sauf peut être dans la présentation. Comme nul n’est censé être cru sur parole: à la fin un lien avec la “science reconnue”

    <b style=”font-family: inherit; font-size: inherit;”>mais si vous préférez un résumé:

    A] en français on a des phrases basiques: sujet, verbe; complément, et cela s’appelle une “proposition” notée P

    exemple Pierre mange Paul

    2) si dans la proposition vous remplacez le sujet ou le verbe ou le complément par “X”

    (ou par “n” pour un nombre entier)

    ça donne cela “Quentin mange X” notée Q[X]

    ce n’est plus une proposition, c’est ce qu’on appelle un “Prédicat de la variable X”

    le prédicat est vrai ou faux en fonction de quel X on met

    par exemple si vous mettez X= entrecôte, pâte, lasagnes, salade, hamburger, Q[X] est vraie, mais si vous mettez X= table, fenêtre, tuile, ciment Q[X] est faux

    (humour en principe, car Quentin vivant au moyen âge, il ne mange pas de hamburger)

    3) dans l’exemple précédent, on a utilisé le prédicat de la variable n suivant

    la somme des n premiers nombres impairs = n au carré= n x n = n²

    4) l’idée de la démonstration est de dire que

    A] c’est vrai pour n=1

    car d’un côté la somme des n=1 premiers nombres impairs, c’est 1

    et de l’autre côté n²= 1, donc même résultat

    c’est vrai aussi pour n=2

    car la somme des 2 premiers nombres impairs c’est 1+3=4

    et 2²=4 aussi

    et

    B] que si c’est vrai pour un entier, alors que c’est vrai pour le suivant

    et

    C] que donc ça va être vrai aussi pour 3, pour 4, pour 5, pour 6, etc et en définitive pour tous les nombres entiers, c’est ce qu’on pourrait appeler en langage pratique , le “principe des dominos” (pour respecter rigueur mathématique, @grandadais a eu recours au “l’axiome d’induction”, parce que dire à des néophytes “ça va être vrai aussi pour 3, pour 4, pour 5, pour 6, etc et en définitive pour tous les nombres entiers” en toute rigueur, sans utiliser cet axiome, ce serait un sophisme!).

    références:

    http://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~pmassot/enseignement/math114/03_predicats_quantificateurs.html

    https://www.techno-science.net/definition/6409.html

  • 5f825ad29183e bpthumb

    faiseuse-de-foret

    Membre
    20 janvier 2021 à 2 h 30 min

    Je n’ai pas la chance d’avoir un bon niveau mathématique donc le dirai probablement en des termes maladroits mais

    ‣ si 1 est “cardinal‟ il est effectivement unique (il se désigne plus ou moins lui-même),

    ‣ mais s’il est “numéral‟ là il n’a pas de raison d’être unique puisqu’il ne fait que qualifier différents types d’objets·

    J’ai parlé de ce problème en mes propres termes sur la ressource ˜internumération – périnumération˜ de mon site avec schémas.

    Moi aussi j’ai eu envie de laisser mon grain de sel car quand on aborde le sens des math’s ça m’intérêsse beaucoup plus que les math’s elles-mêmes.

    sinon voici un sigmaj (pris dans le bloc Unicode mathématique & non le bloc Grec) pour qui voudrait copier-coller : ∑

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    Usager supprimé

    Membre
    20 janvier 2021 à 14 h 39 min

    C’est top la récurrence ! ça donne une vision en escalier d’un problème : on montre que c’est vrai sur le seuil et on montre comment on fait pour passer du niveau n au suivant (n+1).
    On peut aussi monter des marches à tailles variables. Par exemple, si c’est vrai au rang n, ce peut être faux pour n+1 mais vrai pour n+2. Dans ce cas, la proposition est vraie seulement une marche sur 2. (Bon ok, c’est une récurrence classique un peu dissimulée en posant H(n)=P(2n)).
    Pour cet exemple, la récurrence est basée sur le fait qu’un nombre impair est la différence de deux carrés consécutifs 2n+1=(n+1)²-n². Et c’est un point de vue intéressant.
    On peut aussi le voir directement et ça donne un autre point de vue sur les impairs. Généralement, on les note 2k+1, justement parce qu’un impair est le double d’un entier, +1. Donc si on connaît la somme des n premiers entiers, qui est ∑k=1+2+ …+n = n(n+1)/2, on peut conclure avec les opérations sur les sommes finies ∑(2k+1)=2∑k+∑1.

  • 5f825ad29183e bpthumb

    faiseuse-de-foret

    Membre
    21 janvier 2021 à 2 h 50 min

    Je vois rien apparaître moi·. 🙁

  • 62b09e43bb2c1 bpthumb

    olbius

    Organisateur
    21 janvier 2021 à 12 h 55 min

    @Sawael non c’est parce que tu as cliqué sur “Publier” avant d’attendre que l’image soit complètement uploadée sur le serveur (il y a une petite icone verte qui apparaît quand c’est le cas 😉 )

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    Usager supprimé

    Membre
    22 janvier 2021 à 10 h 07 min

    @grandadais

    donc j’ai effectivement produit une réponse très scolaire car je sais
    que Norbert aime les choses carrées, sans embrouille ni oubli, alors
    j’ai essayé de lui apporter satisfaction – d’ailleurs je n’ai pas bien
    compris où était ton grain de sable, @norbert?

    Comme disait @max, mais hélas ne dit plus, “Tu n’invoqueras pas mon nom en vain” (humour)

    Je n’avais rien à rajouter sur le fond, j’ai donc juste voulu profiter de l’occasion pour expliquer quelques notions “barbares” comme celle de “prédicat de la variable x ou n”.

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    Usager supprimé

    Membre
    22 janvier 2021 à 15 h 36 min

    2n+1=(n+1)²-n²

    Bravo, cette approche permet une 3e démonstration

    (la 2e étant celle que tu as utilisé avec les Sigma)

    En effet,

    le 1er impair c’est 1, c’est 2*0+1

    le 2e impair c’est 3, c’est 2×1+1

    le pième impair, c’est 2x(p-1)+1

    le (p+1)ième impair, c’est 2p+1=(p+1)²-p²

    donc dans le triangle de @Sawael, tu n’as plus qu’à remplacer les impairs par

    une différence de carrés:

    S1= 1 = 1²-0²
    S2= 1 + 3 = 2×0+1 +2×1+1
    S3= 1 + 3 + 5 = 2×0+1 + 2×2+1
    S4= 1 + 3 + 5 + 7 = (2×0+1) + (2×1+1) + (2×2+1)+(2×3+1)=

    [(0+1)²-0²]+[(1+1)²-1²]+[(2+1)²-1²] + [(3+1)²-3²]
    S5= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 =
    S6= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = (1²-0²) + (2²-1²) + (3²-2²) +(4²-3²) +(5²-4²) +(6²-5²)=
    S7= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 =

    Les carr̩s avec Рdevant se simplifient avec les carr̩s avec + devant

    et on trouve bien

    S1= 1 = 1²-0²
    S2= 1 + 3 = (1²-0²)+(2²-1²)=2²-0²=2²
    S3= 1 + 3 + 5 = 3²
    S4= 1 + 3 + 5 + 7 = 4²
    S5= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5²
    S6= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = (1²-0²) + (2²-1²) + (3²-2²) +(4²-3²) +(5²-4²) +(6²-5²)=6²
    S7= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 =7²

    ——————-

    Question pour 3 champions

    Quelle est la définition du Zéro ?

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    Usager supprimé

    Membre
    26 janvier 2021 à 13 h 27 min

    @sawael et @grandadais

    Juste un infime (c’est le cas de le dire) détail: c’est quoi pour vous la définition de “Zéro”?

  • 5f825ad29183e bpthumb

    faiseuse-de-foret

    Membre
    29 janvier 2021 à 6 h 27 min

    Pour moi la seule opération mathématique est l’addition car
    • la soustraction est l’addition d’un nombre négatif,
    • la multiplication une répétition d’additions,
    • la division une inversion de répétition d’additions,
    • l’exponentiation une répétition de répétition d’additions,
    • etc…

    Donc le zéro est simplement la valeur qui ne modifie pas une autre valeur par addition. Qui ”rend l’opération inopérante‟.
    C’est vrai aussi bien en tant que chiffre qu’en tant que nombre car
    • en tant que nombre quand on n’a rien c’est qu’on nous a rien donné donc addition nulle ;
    • en tant que chiffre en numération positionnelle un nombre est l’addition de chaque chiffre multiplié par la base exposant le rang (la position numérotée depuis la droite en tant que rang ˜0˜)
    par exemple en décimal le nombre 7582 = 7 × 10³ + 5 × 10² + 8 × 10¹ + 2 × 10⁰
    = 7 × 1000 + 5 × 100 + 8 × 10 + 2 × 1 = 7000 + 500 + 80 + 2
    ce qui signifie que quand un chiffre est nul dans un nombre son rang vaut une addition nulle @ la valeur des autres rangs qui forment le nombre.
    D’ailleurs un nombre est lui-même présenté comme une addition de chiffres aussi bien en numération positionnelle que Chinoise (chiffre @ gauche multiplié, chiffre @ droite ajouté) ou Romaine (chiffre @ gauche soustrait, chiffre @ droite ajouté)…

  • 62b09ccaf099d bpthumb

    stavro

    Membre
    29 janvier 2021 à 7 h 08 min

    cqfd. Elément neutre pour l’opération Addition. Merci et bonne journée

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