Somme des n premiers nombres impairs



  • Somme des n premiers nombres impairs

    5f825ad29183e bpthumb faiseuse-de-foret mis Ă  jour Il y a 3 semaines, 2 jours 9 Membres · 59 Messages
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    norbert

    Membre
    18 janvier 2021 Ă  16 h 39 min

    @sawael, inspiré de ton triangle

    1 = 1ÂČ
    1 + 3 = 2ÂČ
    1 + 3 + 5 = 3ÂČ
    1 + 3 + 5 + 7 = 4ÂČ
    1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5ÂČ
    1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6ÂČ
    1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 7ÂČ

    Donc il s’agit de montrer que la somme des n premiers impairs est un carrĂ©

    (et si possible quel carré?)

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    grandadais

    Membre
    18 janvier 2021 Ă  16 h 59 min

    la récurrence est ton amie

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    sawael

    Membre
    19 janvier 2021 Ă  2 h 09 min

    Salut, j’avais dĂ©jĂ  notĂ© la fonction de ce petit schĂ©ma (dĂ©finition par rĂ©currence), il faut juste enlever la racine carrĂ©e pour conserver les valeurs au carrĂ© (k). A partir de 2 valeurs a et (a+b) sur la fonction k, on dĂ©montre que (a+b) > a, k Ă©tant la valeur du carrĂ©. Pour une notation en bonne et due forme, c’est trop galĂšre sur un forum pour Ă©crire les symboles mathĂ©matiques, je te laisse la main 😉

    (L’image apparaĂźt Ă  la fin de ce post :

    https://rencontre-surdoue.com/groupes/science/forum/topic/une-question-de-logique-besoin-de-votre-aide/#post-139629)

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    grandadais

    Membre
    19 janvier 2021 Ă  10 h 45 min

    @norbert @Sawael

    Sawael, je ne suis pas sûr de comprendre ton raisonnement, donc je vais préciser.

    Le raisonnement par rĂ©currence consiste d’abord Ă  initialiser, c’est Ă  dire prouver le rĂ©sultat Ă  un rang le plus petit possible (typiquement n=0 ou 1). Puis, Ă  dĂ©montrer que la vĂ©ritĂ© de l’Ă©noncĂ© Ă  un rang n quelconque, implique la validitĂ© au rang suivant, (n+1). L’axiome d’induction donnera alors la vĂ©ritĂ© de l’Ă©noncĂ© pour tout entier naturel n. C’est le monde majeur de raisonnement pour ce qui est de dĂ©montrer des Ă©noncĂ©s universaux d’arithmĂ©tique, i.e. du type: “pour tout entier naturel n…”

    en s’inspirant de ton triangle on peut supposer que pour tout entier naturel n :

    1+3+5+ … + (2n-1) = nÂČ

    (impossible d’Ă©crire avec des sigmas ici, donc j’utilise les trois petits points)

    Preuve :

    – initialisation: pour n=1 on a bien 1 = 1ÂČ

    – rĂ©currence: supposons le rĂ©sultat vrai pour un rang n, en notant S(n) la somme des n premiers nombres impairs, on a donc 1+3+5 … + (2n-1) = S(n) = nÂČ

    on Ă©crit alors la somme au rang suivant, n+1 (en faisant figurer l’avant-dernier terme de la somme):
    S(n+1) = 1+3+5+…+ (2n-1) + (2(n+1)-1)

    = S(n) + (2(n+1)-1)

    on reconnaĂźt bien sĂ»r, Ă  gauche du dernier terme, la somme des entiers impairs pour le rang n, que l’on a notĂ© S(n) ; par hypothĂšse d’induction on peut donc remplacer ces n premiers termes par nÂČ:

    S(n+1) = 1+3+5+…+(2n-1) + (2(n+1)-1)

    = S(n) + (2(n+1)-1)

    = nÂČ + (2(n+1)-1)

    = nÂČ + 2n +1

    S(n+1) = (n+1)ÂČ

    la récurrence fonctionne bien

    comme c’est enclenchĂ© en 1, la rĂ©currence donne le rĂ©sultat pour 2, puis 3 puis 4 puis 5 puis 6 puis puis puis… comme ça jusqu’Ă  l’infini, et peut-ĂȘtre au delĂ  j’en sais rien…

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    norbert

    Membre
    19 janvier 2021 Ă  13 h 14 min

    @grandadais

    Parfait !

    juste pour mettre mon petit grain de sel personnel:

    Ceci est du cours, je n’invente rien, sauf peut ĂȘtre dans la prĂ©sentation. Comme nul n’est censĂ© ĂȘtre cru sur parole: Ă  la fin un lien avec la “science reconnue”

    <b style=”font-family: inherit; font-size: inherit;”>mais si vous prĂ©fĂ©rez un rĂ©sumĂ©:

    A] en français on a des phrases basiques: sujet, verbe; complĂ©ment, et cela s’appelle une “proposition” notĂ©e P

    exemple Pierre mange Paul

    2) si dans la proposition vous remplacez le sujet ou le verbe ou le complĂ©ment par “X”

    (ou par “n” pour un nombre entier)

    ça donne cela “Quentin mange X” notĂ©e Q[X]

    ce n’est plus une proposition, c’est ce qu’on appelle un “PrĂ©dicat de la variable X”

    le prédicat est vrai ou faux en fonction de quel X on met

    par exemple si vous mettez X= entrecĂŽte, pĂąte, lasagnes, salade, hamburger, Q[X] est vraie, mais si vous mettez X= table, fenĂȘtre, tuile, ciment Q[X] est faux

    (humour en principe, car Quentin vivant au moyen Ăąge, il ne mange pas de hamburger)

    3) dans l’exemple prĂ©cĂ©dent, on a utilisĂ© le prĂ©dicat de la variable n suivant

    la somme des n premiers nombres impairs = n au carrĂ©= n x n = nÂČ

    4) l’idĂ©e de la dĂ©monstration est de dire que

    A] c’est vrai pour n=1

    car d’un cĂŽtĂ© la somme des n=1 premiers nombres impairs, c’est 1

    et de l’autre cĂŽtĂ© nÂČ= 1, donc mĂȘme rĂ©sultat

    c’est vrai aussi pour n=2

    car la somme des 2 premiers nombres impairs c’est 1+3=4

    et 2ÂČ=4 aussi

    et

    B] que si c’est vrai pour un entier, alors que c’est vrai pour le suivant

    et

    C] que donc ça va ĂȘtre vrai aussi pour 3, pour 4, pour 5, pour 6, etc et en dĂ©finitive pour tous les nombres entiers, c’est ce qu’on pourrait appeler en langage pratique , le “principe des dominos” (pour respecter rigueur mathĂ©matique, @grandadais a eu recours au “l’axiome d’induction”, parce que dire Ă  des nĂ©ophytes “ça va ĂȘtre vrai aussi pour 3, pour 4, pour 5, pour 6, etc et en dĂ©finitive pour tous les nombres entiers” en toute rigueur, sans utiliser cet axiome, ce serait un sophisme!).

    références:

    http://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~pmassot/enseignement/math114/03_predicats_quantificateurs.html

    https://www.techno-science.net/definition/6409.html

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    sawael

    Membre
    19 janvier 2021 Ă  22 h 27 min

    @grandadais @norbert

    Je me pose juste Ă  l’instant (journĂ©e chargĂ©e !).
    Je suis tout claqué, il y a beaucoup à dire sur vos réactions.

    Bon, rien Ă  dire sur le plan scolaire, mais ça ne me plaĂźt pas. Vous ne vous creusez pas assez les mĂ©ninges. L’intĂ©rĂȘt d’ĂȘtre sur ce forum, c’est peut-ĂȘtre d’aller un peu plus loin…

    Sur quel principe se base le raisonnement par rĂ©currence ? Le principe de rĂ©currence ! Facile ! Et comment le justifie-t-on ce principe ? GrĂące Ă  l’axiomatique de Peano, celle que vous utilisez, sans mĂȘme le notifier (et il faudrait le faire, pour que ça soit plus rigoureux).

    Comment Peano s’y est pris pour justifier ce principe fondamental, tout en dĂ©finissant l’ensemble N ? Il ne pouvait pas raisonner par rĂ©currence, car sinon son raisonnement aurait Ă©tĂ© circulaire. On ne peut pas se baser sur le principe de rĂ©currence pour justifier le principe de rĂ©currence. Donc ?

    https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Peano#Axiomes

    HĂ© bien il est passĂ© par une fonction ! Et comme je l’avais mentionnĂ©, il s’agit lĂ  d’une dĂ©finition par rĂ©currence, et c’est ce qu’il y a de plus sĂ©rieux, puisque cela fonde votre axiomatique. Donc comme nul n’est censĂ© ĂȘtre cru sur parole, voici un lien wikipĂ©dia qui explique ce que c’est…

    https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9finition_par_r%C3%A9currence

    Et pourquoi procĂ©der de la sorte ? HĂ© bĂ©h juste histoire d’aller un peu au fond des choses… C’est plus intĂ©ressant de rĂ©flĂ©chir Ă  la maniĂšre dont on construit un ensemble, plutĂŽt que d’appliquer une mĂ©thode apprise en cours, sans ressentir le besoin d’aller plus loin. Sachant qu’il n’y a aucune dĂ©finition par comprĂ©hension dans les axiomes de Peano, lĂ  il y a matiĂšre Ă  rĂ©flĂ©chir sur le sens des choses.

    Les mathĂ©maticiens se targuent souvent d’ĂȘtre les plus rigoureux, mais en philosophie, on ne passera jamais de 1 Ă  2 en se basant sur le principe de rĂ©currence, prĂ©cisĂ©ment parce que 1 + 1 = 2 dĂ©coule sur une contradiction conceptuelle. Si 1 est ce qui est unique, alors il ne peut pas avoir de copie de lui-mĂȘme. Il ne peut donc ĂȘtre additionnĂ© avec lui-mĂȘme. Donc comment passe-t-on de 1 Ă  2 ? Cela a Ă©tĂ© l’objet de mes premiers cours de mathĂ©matique Ă  la fac de philo ^^

    Donc voilĂ , moi ce qui m’intĂ©resse, c’est de rĂ©flĂ©chir sur le sens des choses. Qu’il y ait une cohĂ©rence Ă  la fois conceptuelle et formelle. Mon image avait Ă©tĂ© faite un peu Ă  l’arrache, je reviendrai plus tard pour une Ă©criture plus formelle. LĂ , il est dĂ©jĂ  22h30, il est un peu tard ^^

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    grandadais

    Membre
    19 janvier 2021 Ă  22 h 50 min

    @Sawael

    bah si j’ai invoquĂ© l’axiome d’induction justement, si je me souviens bien… donc implicitement je me plaçais dans l’axiomatique de Peano oui ; la seule qu’on utilise couramment en arithmĂ©tique. ça me semblait aller de soi et inutile d’en parler Ă  des gens pas forcĂ©ment connaisseur puisque utiliser l’arythmĂ©tique de Heyting, le systĂšme F, ou un autre systĂšme formel plus rĂ©cent pour rĂ©pondre Ă  la question de Norbert, cela aurait Ă©tĂ© comme utiliser une marmite de 50L pour cuire un Ɠuf sur le plat, pas vraiment adaptĂ© quoi…

    mais je regarderai tes liens wiki, demain, parce que ta question m’intĂ©resse.

    la rĂ©currence dans l’arithmĂ©tique de Peano, ce n’est pas de faire 1+1 ou n+1 mais de faire S1, Ă  savoir le successeur de 1, c’est Ă  dire 2… ce qui dans notre cas cela revient Ă  faire +1, et donc, dans 1+1, le 1 Ă  gauche n’a pas la mĂȘme nature, le mĂȘme sens en effet, que le 1 Ă  droite, on est d’accord, mĂȘme si cela reste Ă  prĂ©ciser.

    ce que tu dis me fait penser Ă  la dĂ©finition de l’Ă©galitĂ© par Leibnitz… faut que je la retrouve.

    et donc j’ai effectivement produit une rĂ©ponse trĂšs scolaire car je sais que Norbert aime les choses carrĂ©es, sans embrouille ni oubli, alors j’ai essayĂ© de lui apporter satisfaction – d’ailleurs je n’ai pas bien compris oĂč Ă©tait ton grain de sable, @norbert?

    bonne nuit!

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    faiseuse-de-foret

    Membre
    20 janvier 2021 Ă  2 h 30 min

    Je n’ai pas la chance d’avoir un bon niveau mathĂ©matique donc le dirai probablement en des termes maladroits mais

    ‣ si 1 est “cardinal‟ il est effectivement unique (il se dĂ©signe plus ou moins lui-mĂȘme),

    ‣ mais s’il est “numĂ©ral‟ lĂ  il n’a pas de raison d’ĂȘtre unique puisqu’il ne fait que qualifier diffĂ©rents types d’objets·

    J’ai parlĂ© de ce problĂšme en mes propres termes sur la ressource ˜internumĂ©ration – pĂ©rinumĂ©ration˜ de mon site avec schĂ©mas.

    Moi aussi j’ai eu envie de laisser mon grain de sel car quand on aborde le sens des math’s ça m’intĂ©rĂȘsse beaucoup plus que les math’s elles-mĂȘmes.

    sinon voici un sigmaj (pris dans le bloc Unicode mathĂ©matique & non le bloc Grec) pour qui voudrait copier-coller : ∑

  • 1fbd36e531889f54cd57b9a3ce09bea0?s=80&r=g&d=https%3A%2F%2Frencontre surdoue.com%2Fwp content%2Fuploads%2F2017%2F06%2Frencontresurdoue

    freesia

    Membre
    20 janvier 2021 Ă  14 h 39 min

    C’est top la rĂ©currence ! ça donne une vision en escalier d’un problĂšme : on montre que c’est vrai sur le seuil et on montre comment on fait pour passer du niveau n au suivant (n+1).
    On peut aussi monter des marches Ă  tailles variables. Par exemple, si c’est vrai au rang n, ce peut ĂȘtre faux pour n+1 mais vrai pour n+2. Dans ce cas, la proposition est vraie seulement une marche sur 2. (Bon ok, c’est une rĂ©currence classique un peu dissimulĂ©e en posant H(n)=P(2n)).
    Pour cet exemple, la rĂ©currence est basĂ©e sur le fait qu’un nombre impair est la diffĂ©rence de deux carrĂ©s consĂ©cutifs 2n+1=(n+1)ÂČ-nÂČ. Et c’est un point de vue intĂ©ressant.
    On peut aussi le voir directement et ça donne un autre point de vue sur les impairs. GĂ©nĂ©ralement, on les note 2k+1, justement parce qu’un impair est le double d’un entier, +1. Donc si on connaĂźt la somme des n premiers entiers, qui est ∑k=1+2+ …+n = n(n+1)/2, on peut conclure avec les opĂ©rations sur les sommes finies ∑(2k+1)=2∑k+∑1.

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    sawael

    Membre
    21 janvier 2021 Ă  0 h 00 min

    @grandadais DĂ©solĂ©, je manque de temps ^_^’

    En fait, ma petite pyramide postĂ©e par Norbert a Ă©tĂ© sortie de son contexte, d’oĂč le quiproquo. Son intĂ©rĂȘt Ă©tait d’illustrer une petite fonction, qui nous permet de construire et de dĂ©finir l’ensemble K (c’est l’ensemble N sans le zĂ©ro). Comme il s’agissait d’une dĂ©finition par rĂ©currence, dans le cadre d’un systĂšme logique, s’emmerder Ă  dĂ©montrer quoi que ce soit par un raisonnement par rĂ©currence n’avait pas beaucoup de sens.

    On peut le faire pour la beautĂ© du geste, histoire de rĂ©viser ses cours de Terminale, mais ce qui m’intĂ©resse, c’est qu’on s’attarde sur le systĂšme qu’il y a derriĂšre. Et donc pourquoi s’embĂȘter Ă  dĂ©finir logiquement nos objets mathĂ©matiques, ainsi que nos diffĂ©rents ensembles ? HĂ© bien parce que Gödel est passĂ© par lĂ , tout simplement ! L’axiomatique de Peano pose de facto quelques problĂšmes. En outre, il y a des problĂšmes conceptuels, car je ne suis pas du tout d’accord d’inclure le zĂ©ro dans l’ensemble N. Je suis loin d’ĂȘtre un cas isolĂ©, c’Ă©tait la mĂȘme chose pour Dedekind.

    “la rĂ©currence dans l’arithmĂ©tique de Peano, ce n’est pas de faire 1+1 ou n+1 mais de faire S1, Ă  savoir le successeur de 1, c’est Ă  dire 2
 ce qui dans notre cas cela revient Ă  faire +1, et donc, dans 1+1, le 1 Ă  gauche n’a pas la mĂȘme nature, le mĂȘme sens en effet, que le 1 Ă  droite, on est d’accord, mĂȘme si cela reste Ă  prĂ©ciser.”

    Je sais bien, mais comment sait-on que c’est 2 le successeur de 1 ? Il faut dĂ©jĂ  avoir en tĂȘte l’ensemble N. Cela m’apparaĂźt tautologique. Il a fondĂ© ses axiomes en partant de sa conclusion (son ensemble N). Et le fait de ne jamais voir d’analyse conceptuelle chez les matheux, ça me rend cinglĂ© lol

    Alors juste pour le fun, je partage la base de mon systĂšme logique, dans laquelle nous retrouvions ma fonction. L’idĂ©e est de tenir compte du thĂ©orĂšme d’incomplĂ©tude de Gödel, puis de tenter de dĂ©finir rigoureusement nos objets. Donc on part d’un espace qui est le plus large possible, il contient tous les Ă©lĂ©ments possibles, sauf que nous ignorons lesquels. Et lĂ , il faut commencer par dĂ©finir dans quel contexte une chose est vraie ou fausse (sinon elle est indĂ©cidable). Il faut ensuite introduire l’idĂ©e de grandeur (car ouip, nous ne savons pas encore ce que sont les nombres). Puis pas Ă  pas, on continue de poser nos dĂ©finitions grĂące Ă  la dĂ©duction logique.

    Et ça s’arrĂȘte juste aux dĂ©finitions, c’est assez laborieux comme ça ^^’

    @faiseuse-de-foret merci beaucoup pour le sigma ! 🙂


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