[jasper]

celui qui a eu le mouton doit rembourser 4 piastres.

je pense qu’il y avait 14 chameaux a 14 piastres. 14×14 = 196. c’est le premier carre dont les dizaines ne sont pas paires. Dans le nouveau troupeau il y a donc 19 moutons à 10 piastres et un agneau (à 6 piastres).

La moitie du troupeau fait 9 moutons chacun. Reste 1 agneau a 6 piastres et 1 mouton a 10 piastres.
celui qui a eu le mouton doit donner 4 piastres a celui qui a l’agneau

[hugues]

Et bien celui qui a le mouton donne 10 piastres à celui qui a l’agneau et reprend l’agneau par la même occasion.

[Unknown Member]

Je suppose que ce qu’ils avaient comme argent, de la vente de leur troupeau de chameaux, leur permettait d’acheter un troupeau de moutons et deux moutons en plus.
Comme le vendeur (une supposition aussi) n’avait qu’un seul mouton et un agneau il leur a ajouté 10 piastres pour compenser. Donc l’un des deux garde l’agneau et 10 piastres, et l’autre garde le mouton.

[Unknown Member]

Il donne rien.
Ils se font un méchoui avec l’agneau et le mouton en trop, et partagent le repas.

Edit : si on veut établir un système pour trouver la valeur exacte de l’agneau, on a plusieurs valeurs possibles. Donc impossible de déterminer cela. Il faudrait renseigner une valeur supplémentaire quelque part.
Ensuite, si celui qui a un mouton donne 10 piastres à celui qui a l’agneau, puis récupère l’agneau, on a la finalité suivante : mouton+10 piastre contre un agneau, soit 20 piastres contre un agneau qui vaut moins de 10. Ce n’est donc pas un échange équitable, et celui qui a le mouton se fait presque doublement arnaquer.
Enfin, il n’y a pas la place aux suppositions autres que celle décrite dans l’énoncé.

[Unknown Member]

Première remarque :

“Reste 1 agneau a 6 piastres et 1 mouton a 10 piastres.
celui qui a eu le mouton doit donner 4 piastres a celui qui a l’agneau ”

N’est pas un partage équitable…

Seconde remarque

C’est une solution, mais est-ce la seule ?

[jasper]

en effet. peut etre faufdrait il donner 2 piastres.si on covertit tout en piastres d’un cote 9×10 + 10-2= 98

et de l’autre 9×10 + 6 + 2 = 98 piastres.
j’ai bon?

je ne vois oas d’autre solution et de toute facon je sors mon permis de port de rasoir d’Ockam pour économiser mon TDCD (temps de cerveau disponible)

[sansho88]

Si on regarde le problème très simplement, on peut se dire qu’un agneau peut valoir la moitié d’un mouton, donc 5 piastres.
Ou sinon, avec un produit en croix, on peut fixer la valeur de l’agneau en fonction du poids moyen des moutons.
Donc on peut avoir quelque chose comme:
pa= poids de l’agneau
pmt= poids moyen du troupeau

(pa/ pmt) x 10 (prix d’un mouton en piastres)

Plus concrètement, ça peut donner quelque chose comme:
pa = 30; pmt = 80;
(30/80)x10 = 3,75 piastres

Mais comme il faut un nombre entier de piastres (et avec les frais de dossier pour le calcul, et aussi parce que l’agneau doit sûrement être chou): 4 piastres.

[sezei]

J’inaugure ce nouveau compte en participant à cette jolie énigme. Sans transition :

“Deux marchands possèdent en commun et à part égale un troupeau de chameau.”

Donc il y a un nombre pair 2C de chameaux.

“Ils le vendent et pour chaque chameau ils ont obtenu autant de piastres que le nombre de chameau.”

La cagnotte en piastres est donc le carré du nombre de chameaux, elle s’élève à 4C²

“Avec cette somme, ils achètent un troupeau de moutons à 10 piastres le mouton et un agneau.
Ils partagent cela en deux mais l’un des marchands reçoit un mouton de plus tandis que l’autre reçoit l’agneau.”

Donc pour une somme de 4C² en piastres ils obtiennent un nombre impair de moutons 2M+1, valant 10 piastres par tête, et un agneau valant A<10 piastres.
Pour ceux qui adorent les maths, posons :
4C² = 10*(2M+1)+A
Pour les autres qui abhorrent les maths, simplifions :
C²=5M+2.5+A/4
Comme C et M sont entiers, il faut aussi que 2.5+A/4 soit entier et donc A ne peut qu’être de la forme 4k+2=A, avec k entier.
Or les seules valeurs possibles de k qui satisfont 4k+2=A<10 sont k=0 et k=1, donc un agneau vaut soit 2, soit 6 piastres.

S’il vaut 2 piastres, alors on cherche une solution de :
C²=5M+2.5+2/4=5M+3.
Or 5M+3 est un nombre positif qui a nécessairement 3 ou 8 pour dernier chiffre et ne peut donc pas être un carré parfait :
En effet les carrés, eux, finissent toujours par 0,1,4,9,6 ou 5 (facile à vérifier de 0² à 10², puis constater que ça reboucle).

Donc un agneau ne peut pas valoir autre chose que 6 piastres (ce qui correspond à chercher la solution de C²=5M+4, ayant pour dernier chiffre 4 ou 9, ce qui est possible cette fois-ci).
Du coup, la différence de valeur du troupeau en piastres entre les deux marchands est de 10 (pour le mouton de plus) moins 6 (pour l’agneau), égal 4.
Le marchand le mieux loti devra donner 2 piastres à l’autre, car après transfert, 10-2=6+2 et les bons comptes font les bons amis.

Par contre on ne peut pas en dire plus sur le nombre de moutons en tout, il y a un tas de solutions raisonnables. On peut seulement dire qu’il y a 2M+1 moutons de sorte que 5M+4 est un carré parfat.
Il peut théoriquement y avoir 1 mouton, ou 3, ou 19, ou 25, ou 57, ou 67, …

[sezei]

Suite : j’ai repensé à la formulation “Deux marchands possèdent en commun et à part égale un troupeau de chameau.” :
Si on accepte qu’ils ont des “parts du troupeau” au sens 50% de la valeur et non 50% des chameaux, alors dans le premier cas on peut très bien couper la valeur d’un chameau en deux (tandis que l’autre cas de figure pose des problèmes évidents d’hygiène).

On peut travailler dans le cas général où le nombre de chameaux du troupeau initial est quelconque (donc pair ou impair).
Disons qu’il y a C = 10*D+U chameaux, D est le nombre de groupes de dizaines de chameaux et U le nombre d’unités (donc U<10)
Ils vendent les C chameaux pour C² piastres et rachètent pour cette somme 2M+1 moutons et un agneau de valeur A<10. Ainsi :
C²=10*(2M+1)+A
Séparation dizaines et unités des chameaux :
(10D+U)²=20M+10+A
Identité remarquable du carré d’une somme :
(10D)²+2*10D*U+U²=A+10+20M
Factorisation avec 20 à droite :
U²=A+10+20(M-5D²-DU)
On définit l’entier K = M-5D²-DU pour la clarté :
U²=A+10+20K
Identification dizaines et unités, puisque A<10
U²=10(2K+1)+A
Donc U² est un carré parfait tel que U<10 et tel que son chiffre des dizaines est impair et celui des unités est la valeur recherchée A
La liste des carrés de U<10 étant 00,01,04,09,16,25,36,49,64,81, on constate que seules les solutions U²=16 et U²=36 satisfont l’imparité de la dizaine, ainsi on retrouve A=6 la valeur d’un agneau en piastres et on peut confirmer que le marchand au mouton supplémentaire doit rendre 2 piastres à l’autre.

On peut tout de même, pour rigoler, utiliser ces informations pour parier sur le nombre de têtes du troupeau vendu et acheté. Après une recherche internet rapide, j’estime sans grande conviction qu’au Maroc le ratio de valeur entre un chameau et un mouton est d’environ 5 pour 1.
Donc à 10 piastres le mouton, on aurait autour de 50 piastres le chameau. Sur cette base, on peut estimer qu’ils avaient un nombre de chameaux proche de 50, ce nombre finissant par le chiffre 4 ou 6. (car U²=16 ou 36).
Les nombres de chameaux respectant au plus près ce ratio de 5 pour 1 seraient 46 et 54. Pour le premier, ils en rachèteraient 211 moutons plus l’agneau, pour le second cas, 291 moutons plus l’agneau.

[jasper]

wouaouh @sezei, élégante démonstration qui prouve que la mathématisation d’un problème apporte plein de solutions inattendues. 67 moutons !

 

J’ai été particulièrement impressionné (manière détournée de dire que je me suis bien pris la tête)  par ton “il faut aussi que 2.5+A/4 soit entier et donc A ne peut qu’être de la forme 4k+2=A, avec k entier.”

mais a force de tourner et retourner le truc j’ai réalisé  que si 2.5+A/4 est entier, il faut que A vaille 2 modulo 4. d’où la forme 4k+2 .

C’est amusant de penser que tu déduis la solution du fait d’un modulo caché quelque part, moi qui ai fait l’impasse sur l’exercice d’arithmétique au bac, je te fais une standing ovation.

Par contre, je ne suis pas d’accord sur tes tarifs : On parle de chameaux, donc on est en Asie, or Google me dit que “En Asie centrale, un chameau vaut 8 yacks, 9 chevaux ou encore 45 moutons. ”

Ce qui crée plein de problèmes :

Si, comme tu le propose,  on coupe un chameau de Mongolie en 2

– On obtient deux animaux a 1 bosse , donc deux dromadaires.

– Ou alors, si on vend le chameau,  il reste un mouton à partager sur les 45  (et pas d’agneau sauf heureux événement dans 152 jours)

De plus, si  le chameau coute 450 piastres, le troupeau de 450 chameaux coute 202500 pîastres ce qui rapporte 20250 moutons. 20250 fait bien 2 modulo 4, mais A n’est pas le nombre de moutons, et en plus on n’a pas d’agneau à 6 piastres a vendre. Ca ne marche pas non plus.

Le problème est donc mal posé, il faudrait reprendre l’énoncé avec des dromadaires.