Les piastres



  • Les piastres

    5ccc7b1292ddd bpthumb sezei mis à jour Il y a 1 année, 7 mois 6 Membres · 14 Messages
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    Anonyme

    Membre
    9 février 2019 à 9 h 49 min

    Deux marchands possèdent en commun et à part égale un troupeau de chameau.
    Ils le vendent et pour chaque chameau ils ont obtenu autant de piastres que le nombre de chameau.
    C’est une coïncidence qui arrive parfois.

    Avec cette somme, ils achètent un troupeau de moutons à 10 piastres le mouton et un agneau.
    Ils partagent cela en deux mais l’un des marchands reçoit un mouton de plus tandis que l’autre reçoit l’agneau. Il faut donc une compensation car un agneau a moins de valeur qu’un mouton n’est ce pas ?

    Combien de piastres (nombre entier de pièces) celui qui a le mouton doit-il donner à celui qui a l’agneau ?

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    jasper

    Membre
    9 février 2019 à 12 h 18 min

    celui qui a eu le mouton doit rembourser 4 piastres.

    je pense qu’il y avait 14 chameaux a 14 piastres. 14×14 = 196. c’est le premier carre dont les dizaines ne sont pas paires. Dans le nouveau troupeau il y a donc 19 moutons à 10 piastres et un agneau (à 6 piastres).

    La moitie du troupeau fait 9 moutons chacun. Reste 1 agneau a 6 piastres et 1 mouton a 10 piastres.
    celui qui a eu le mouton doit donner 4 piastres a celui qui a l’agneau

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    hugues-papin

    Membre
    16 février 2019 à 8 h 33 min

    Et bien celui qui a le mouton donne 10 piastres à celui qui a l’agneau et reprend l’agneau par la même occasion.

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    Anonyme

    Membre
    16 février 2019 à 23 h 59 min

    Je suppose que ce qu’ils avaient comme argent, de la vente de leur troupeau de chameaux, leur permettait d’acheter un troupeau de moutons et deux moutons en plus.
    Comme le vendeur (une supposition aussi) n’avait qu’un seul mouton et un agneau il leur a ajouté 10 piastres pour compenser. Donc l’un des deux garde l’agneau et 10 piastres, et l’autre garde le mouton.

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    Anonyme

    Membre
    16 mars 2019 à 10 h 30 min

    Première remarque :

    “Reste 1 agneau a 6 piastres et 1 mouton a 10 piastres.
    celui qui a eu le mouton doit donner 4 piastres a celui qui a l’agneau ”

    N’est pas un partage équitable…

    Seconde remarque

    C’est une solution, mais est-ce la seule ?

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    jasper

    Membre
    16 mars 2019 à 14 h 06 min

    en effet. peut etre faufdrait il donner 2 piastres.si on covertit tout en piastres d’un cote 9×10 + 10-2= 98

    et de l’autre 9×10 + 6 + 2 = 98 piastres.
    j’ai bon?

    je ne vois oas d’autre solution et de toute facon je sors mon permis de port de rasoir d’Ockam pour économiser mon TDCD (temps de cerveau disponible)

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    sansho

    Membre
    26 avril 2019 à 16 h 51 min

    Si on regarde le problème très simplement, on peut se dire qu’un agneau peut valoir la moitié d’un mouton, donc 5 piastres.
    Ou sinon, avec un produit en croix, on peut fixer la valeur de l’agneau en fonction du poids moyen des moutons.
    Donc on peut avoir quelque chose comme:
    pa= poids de l’agneau
    pmt= poids moyen du troupeau

    (pa/ pmt) x 10 (prix d’un mouton en piastres)

    Plus concrètement, ça peut donner quelque chose comme:
    pa = 30; pmt = 80;
    (30/80)x10 = 3,75 piastres

    Mais comme il faut un nombre entier de piastres (et avec les frais de dossier pour le calcul, et aussi parce que l’agneau doit sûrement être chou): 4 piastres.

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    sezei

    Membre
    3 mai 2019 à 19 h 06 min

    J’inaugure ce nouveau compte en participant à cette jolie énigme. Sans transition :

    “Deux marchands possèdent en commun et à part égale un troupeau de chameau.”

    Donc il y a un nombre pair 2C de chameaux.

    “Ils le vendent et pour chaque chameau ils ont obtenu autant de piastres que le nombre de chameau.”

    La cagnotte en piastres est donc le carré du nombre de chameaux, elle s’élève à 4C²

    “Avec cette somme, ils achètent un troupeau de moutons à 10 piastres le mouton et un agneau.
    Ils partagent cela en deux mais l’un des marchands reçoit un mouton de plus tandis que l’autre reçoit l’agneau.”

    Donc pour une somme de 4C² en piastres ils obtiennent un nombre impair de moutons 2M+1, valant 10 piastres par tête, et un agneau valant A<10 piastres.
    Pour ceux qui adorent les maths, posons :
    4C² = 10*(2M+1)+A
    Pour les autres qui abhorrent les maths, simplifions :
    C²=5M+2.5+A/4
    Comme C et M sont entiers, il faut aussi que 2.5+A/4 soit entier et donc A ne peut qu’être de la forme 4k+2=A, avec k entier.
    Or les seules valeurs possibles de k qui satisfont 4k+2=A<10 sont k=0 et k=1, donc un agneau vaut soit 2, soit 6 piastres.

    S’il vaut 2 piastres, alors on cherche une solution de :
    C²=5M+2.5+2/4=5M+3.
    Or 5M+3 est un nombre positif qui a nécessairement 3 ou 8 pour dernier chiffre et ne peut donc pas être un carré parfait :
    En effet les carrés, eux, finissent toujours par 0,1,4,9,6 ou 5 (facile à vérifier de 0² à 10², puis constater que ça reboucle).

    Donc un agneau ne peut pas valoir autre chose que 6 piastres (ce qui correspond à chercher la solution de C²=5M+4, ayant pour dernier chiffre 4 ou 9, ce qui est possible cette fois-ci).
    Du coup, la différence de valeur du troupeau en piastres entre les deux marchands est de 10 (pour le mouton de plus) moins 6 (pour l’agneau), égal 4.
    Le marchand le mieux loti devra donner 2 piastres à l’autre, car après transfert, 10-2=6+2 et les bons comptes font les bons amis.

    Par contre on ne peut pas en dire plus sur le nombre de moutons en tout, il y a un tas de solutions raisonnables. On peut seulement dire qu’il y a 2M+1 moutons de sorte que 5M+4 est un carré parfat.
    Il peut théoriquement y avoir 1 mouton, ou 3, ou 19, ou 25, ou 57, ou 67, …

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    sezei

    Membre
    3 mai 2019 à 22 h 13 min

    Suite : j’ai repensé à la formulation “Deux marchands possèdent en commun et à part égale un troupeau de chameau.” :
    Si on accepte qu’ils ont des “parts du troupeau” au sens 50% de la valeur et non 50% des chameaux, alors dans le premier cas on peut très bien couper la valeur d’un chameau en deux (tandis que l’autre cas de figure pose des problèmes évidents d’hygiène).

    On peut travailler dans le cas général où le nombre de chameaux du troupeau initial est quelconque (donc pair ou impair).
    Disons qu’il y a C = 10*D+U chameaux, D est le nombre de groupes de dizaines de chameaux et U le nombre d’unités (donc U<10)
    Ils vendent les C chameaux pour C² piastres et rachètent pour cette somme 2M+1 moutons et un agneau de valeur A<10. Ainsi :
    C²=10*(2M+1)+A
    Séparation dizaines et unités des chameaux :
    (10D+U)²=20M+10+A
    Identité remarquable du carré d’une somme :
    (10D)²+2*10D*U+U²=A+10+20M
    Factorisation avec 20 à droite :
    U²=A+10+20(M-5D²-DU)
    On définit l’entier K = M-5D²-DU pour la clarté :
    U²=A+10+20K
    Identification dizaines et unités, puisque A<10
    U²=10(2K+1)+A
    Donc U² est un carré parfait tel que U<10 et tel que son chiffre des dizaines est impair et celui des unités est la valeur recherchée A
    La liste des carrés de U<10 étant 00,01,04,09,16,25,36,49,64,81, on constate que seules les solutions U²=16 et U²=36 satisfont l’imparité de la dizaine, ainsi on retrouve A=6 la valeur d’un agneau en piastres et on peut confirmer que le marchand au mouton supplémentaire doit rendre 2 piastres à l’autre.

    On peut tout de même, pour rigoler, utiliser ces informations pour parier sur le nombre de têtes du troupeau vendu et acheté. Après une recherche internet rapide, j’estime sans grande conviction qu’au Maroc le ratio de valeur entre un chameau et un mouton est d’environ 5 pour 1.
    Donc à 10 piastres le mouton, on aurait autour de 50 piastres le chameau. Sur cette base, on peut estimer qu’ils avaient un nombre de chameaux proche de 50, ce nombre finissant par le chiffre 4 ou 6. (car U²=16 ou 36).
    Les nombres de chameaux respectant au plus près ce ratio de 5 pour 1 seraient 46 et 54. Pour le premier, ils en rachèteraient 211 moutons plus l’agneau, pour le second cas, 291 moutons plus l’agneau.

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    jasper

    Membre
    4 mai 2019 à 10 h 45 min

    wouaouh @sezei, élégante démonstration qui prouve que la mathématisation d’un problème apporte plein de solutions inattendues. 67 moutons !

     

    J’ai été particulièrement impressionné (manière détournée de dire que je me suis bien pris la tête)  par ton “il faut aussi que 2.5+A/4 soit entier et donc A ne peut qu’être de la forme 4k+2=A, avec k entier.”

    mais a force de tourner et retourner le truc j’ai réalisé  que si 2.5+A/4 est entier, il faut que A vaille 2 modulo 4. d’où la forme 4k+2 .

    C’est amusant de penser que tu déduis la solution du fait d’un modulo caché quelque part, moi qui ai fait l’impasse sur l’exercice d’arithmétique au bac, je te fais une standing ovation.

    Par contre, je ne suis pas d’accord sur tes tarifs : On parle de chameaux, donc on est en Asie, or Google me dit que “En Asie centrale, un chameau vaut 8 yacks, 9 chevaux ou encore 45 moutons. ”

    Ce qui crée plein de problèmes :

    Si, comme tu le propose,  on coupe un chameau de Mongolie en 2

    – On obtient deux animaux a 1 bosse , donc deux dromadaires.

    – Ou alors, si on vend le chameau,  il reste un mouton à partager sur les 45  (et pas d’agneau sauf heureux événement dans 152 jours)

    De plus, si  le chameau coute 450 piastres, le troupeau de 450 chameaux coute 202500 pîastres ce qui rapporte 20250 moutons. 20250 fait bien 2 modulo 4, mais A n’est pas le nombre de moutons, et en plus on n’a pas d’agneau à 6 piastres a vendre. Ca ne marche pas non plus.

    Le problème est donc mal posé, il faudrait reprendre l’énoncé avec des dromadaires.

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    sansho

    Membre
    4 mai 2019 à 18 h 09 min

    @etienne31 ton tableau n’est pas très lisible sur ce format :/

    Est-ce que tu pourrais reprendre ton tableau original, le mettre sur un tableur en ligne (par exemple Google sheets)  et partager le lien ici? Ce serait plus simple, plus lisible, et surtout ça évitera de devoir scroll 100 mètres 😀

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    jasper

    Membre
    4 mai 2019 à 19 h 32 min

    @sansho88 comme je l’avais fait pour moi je partage la feuille avec les calculs de @etienne31 :

     

    https://docs.google.com/spreadsheets/d/1pixAL8g4s5MikOqJ4XM-E-a-lJjFJDzTTggSqowMCbg/edit?usp=sharing

     

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    sezei

    Membre
    6 mai 2019 à 19 h 02 min

    @jasper La puissance des maths 🙂 C’est fréquent qu’on soit un peu étourdi par la clarté finale et l’impression de magie émergeant d’un résultat qui passe finalement sous silence le côté bien chaotique, organique de l’intuition et de l’essai-erreur d’une recherche. En l’occurrence c’est avec cette idée de parité des chameaux, mise au carré, que je m’attendais à une bonne restriction des possibilités finies (puisque l’agneau devait valoir moins de 10), puis poser l’équation 4chameau² = 10monton+agneau m’a permis de coller à l’intuition en bricolant ce modulo. Le deuxième message lui est plus général mais technique (donc moins convivial et adaptée au lieu), bien que l’idée reste similaire. Je trouve amusant qu’avec les données du problème on n’est pas plus avancé sur l’ordre de grandeur des troupeaux, mais qu’on est certains que le nombre de chameaux finit par un 4 ou un 6.

    Alors pour la valeur relative de 5 pour 1 du ratio chameau/mouton à vrai dire, j’ai avec fle(g/m)me tapé sur google “prix chameau” et une première source m’a donné le coût au Maroc dudit animal tandis qu’une recherche “prix mouton Maroc” m’a donné une idée du budget à retenir pour un ramadan dans ledit pays. J’ai essayé de respecter au moins la proportion selon une monnaie et un marché national. J’imagine qu’on pourrait trouver un bon compromis quelque part entre les 211/291 montons et les 20000 (de quoi désherber le Poitou-Charente à n’en pas douter, d’ailleurs).

    Merci à toi et @etienne31 pour la confirmation algorithmique.

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    sezei

    Membre
    6 mai 2019 à 21 h 23 min

    Il y a beaucoup à dire vis à vis de cette connexion entre les maths et le français, je suis aussi d’avis que les ponts entre les deux ne peuvent qu’exister, à commencer par la raison que les maths telles qu’on les connaît aujourd’hui sont apparues dans le cadre préexistant du langage (regardons quelques millénaires en arrière) et transmettent des concepts dont on peut dessiner les contours sans formule ni formalisme (même si ça peut devenir rapidement très laborieux, de la même façon que programmer un logiciel en langage binaire serait fastidieux, d’où l’idée de passer par un langage de programmation bien plus commode).
    Aussi puisque les maths sont un produit de l’intelligence humaine et qu’il y a cette idée du facteur G proposé par les psychométriciens, on peut s’attendre à ce qu’une intelligence libérée dans un domaine (par exemple le français) a statistiquement de bonnes chances d’être libérée ailleurs (par exemple les maths). Voilà de quoi nourrir notre faisceau de présomption même s’il faut rester vigilants face aux corrélations, parfois trompeuses.
    Par contre je ne pense pas qu’on puisse faire un isomorphisme (ou une équivalence) entre les deux disciplines : les maths demandent peut-être plus souvent d’aisance dans l’abstraction (réduire à l’essentiel des propriétés) ou de célérité dans le calcul au sens large (de multiples petites opérations et combinaisons d’objets), associés à une certaine exigence de précision, là où le langage pourrait plus volontiers faire appel à l’aisance dans un champ varié de connaissances/culture, une aptitude à tirer parti du flou et des implicites, ainsi que des relations interpersonnelles.
    Tout ceci n’est qu’une liste de propositions de polarités non-exhaustive, l’idée n’est que d’illustrer.
    Je ne pense pas qu’une de ces disciplines soit par essence plus “difficile” qu’une autre puisque c’est comme tout domaine, ça dépend de ce qu’on en fait et les possibles n’ont pour limite que l’imagination. Je ne pense pas non plus qu’il faille compter en soi de façon marquée la liste des qualités que j’ai proposé pour pratiquer la discipline (ça se saurait). D’ailleurs je suis convaincu que toutes ces qualités trouvent leur intérêt dans toute activité (maths, langues, arts, ou horticulture). Je pense par contre qu’en terme de fréquence, chaque domaine fera appel à des formes de pensée plus différentiables à mesure que l’on progresse en spécialisation.


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