nombre de chin-chin dans un anniversaire (ou un michel-versaire)



  • nombre de chin-chin dans un anniversaire (ou un michel-versaire)

    5d5ff71276985 bpthumb byaku mis à jour Il y a 3 semaines, 6 jours 6 Membres · 23 Messages
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    norbert

    Membre
    22 janvier 2021 à 9 h 53 min

    Bonjour, Annie a 43 ans aujourd’hui, elle a 35 invité à son annie-versaire

    , il y a 36 convives en comptant Annie. Chaque invité trinque avec tous les autres.

    a) c’est une famille très sophistiquée, donc chacun trinque 2 fois avec chacun des autres

    une première fois à son initiative, une seconde fois à l’initiative de l’autre convive

    Combien y a t’il de chin-chin?

    b) avant de se séparer, ils décident de retrinquer, par flemme chacun ne trinque qu’une seule fois avec chacun des autres, combien de chin-chin?

    c) si au lieu de 36 convives, il y en avait 18, combien de chin-chin (en ne trinquant qu’une fois)?

    d) peut on trouver une formule en ne trinquant qu’une fois, pour “n” convives?

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    pulsar

    Membre
    22 janvier 2021 à 22 h 53 min

    a) 1260 « tchin-tchin ».

    b) 630 « tchin-tchin ».

    c) 153 « tchin-tchin ».

    d) Oui, on peut trouver une formule générale pour n convives dans le cas où ils ne trinquent qu’une seule fois. (On peut aussi trouver une formule dans le cas où ils trinquent p fois…)

    😇

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    lau2pluie

    Membre
    24 janvier 2021 à 9 h 37 min

    Salut Norbert

    Annie et ses amis ne respectent apparemment pas les règles de distanciation sociale 😉

    C’est bien plus facile de calculer la réponse de la question b), il suffit ensuite de doubler pour la réponse à la question a). Pour la question b), j’ai fait des additions mais j’imagine qu’il doit y avoir une manière plus simple de calculer (la fameuse formule!), et surtout qui n’implique pas le risque de se planter sur les touches de la calculette (j’ai dû refaire le calcul parce que je trouvais pas le même résultat que Pulsar).

    Je ne vois pas l’intérêt de chercher la réponse à la question c), c’est le même principe que la question b).

    Belle journée!

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    grandadais

    Membre
    24 janvier 2021 à 10 h 53 min

    @lau2pluie

    Je pense que pulsar a utilisé le coefficient binomial, je te laisse voir ce que c’est.

    Le problème de @norbert revient à calculer, dans un ensemble de 36 éléments, le nombre de combinaison à 2 éléments (chaque convive trinquant une fois avec tous les autres, un seul à la fois).

    Et donc le coefficient binomial pour k=2 et n=36 donne bien 630.

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    norbert

    Membre
    25 janvier 2021 à 16 h 42 min

    @pulsar

    Oui, on peut trouver une formule générale pour n convives dans le cas où ils ne trinquent qu’une seule fois. (On peut aussi trouver une formule dans le cas où ils trinquent p fois…)

    Heureux de te revoir, pourrais tu détailler, stp?

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    norbert

    Membre
    25 janvier 2021 à 16 h 43 min

    @lau2pluie

    Annie et ses amis ne respectent apparemment pas les règles de distanciation sociale!

    Ni la distance du maître !

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    norbert

    Membre
    25 janvier 2021 à 16 h 54 min

    @grandadais

    Je pense que pulsar a utilisé le coefficient binomial, je te laisse voir ce que c’est.

    faisons pour les gens de “mon bar” (d’autant plus qu’ils sont direectement concernés par les chin-chin)

    Anne trinque avec 35 personnes, donc ça fait 35 chin-chin ! (jusque là mon bar suit)

    Si chaque convive veut trinquer de son initiative avec les autres (sans s’occuper de savoir si les autres ont déjà trinqué avec lui ou pas), chaque convive est dans la même situation qu’Anne

    donc ça fat 36 fois 35 chin-chin !

    Donc nombre de chin-chin si les gens trinquent 2 fois: 36 x 35

    et si ils ne trinquent qu’une fois, la moitié: donc [36 x 35 ]/ 2 =

    formule générale

    pour 2 chin chin par couple, si n convives: n x (n-1)

    pour un chin chin par couple: si n convives: [n x (n-1)]/2

    PS mon bar:

    https://www.google.com/maps/@43.1098033,5.9402358,3a,75y,24.25h,84.47t/data=!3m7!1e1!3m5!1sSvE7TYVEy0iJ_kaQeAsOhw!2e0!6s%2F%2Fgeo0.ggpht.com%2Fcbk%3Fpanoid%3DSvE7TYVEy0iJ_kaQeAsOhw%26output%3Dthumbnail%26cb_client%3Dmaps_sv.tactile.gps%26thumb%3D2%26w%3D203%26h%3D100%26yaw%3D114.684555%26pitch%3D0%26thumbfov%3D100!7i13312!8i6656

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    lau2pluie

    Membre
    25 janvier 2021 à 22 h 24 min

    C’est effectivement plus simple que ma méthode par addition.

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    pulsar

    Membre
    26 janvier 2021 à 0 h 20 min

    Anne trinque avec 35 personnes, donc ça fait 35 chin-chin ! (jusque là mon bar suit)

    Si chaque convive veut trinquer de son initiative avec les autres (sans s’occuper de savoir si les autres ont déjà trinqué avec lui ou pas), chaque convive est dans la même situation qu’Anne

    donc ça fait 36 fois 35 chin-chin !

    Donc nombre de chin-chin si les gens trinquent 2 fois: 36 x 35

    et si ils ne trinquent qu’une fois, la moitié: donc [36 x 35 ]/ 2 = formule générale

    pour 2 chin chin par couple, si n convives: n x (n-1)

    pour un chin chin par couple: si n convives: [n x (n-1)]/2

    Pas du tout ! Le résultat est bon, certes, mais l’explication est complètement fausse.

    Voilà la bonne explication :

    • On choisit un convive (n’importe lequel). Il va donc pouvoir trinquer avec les 35 autres une fois. À ce stade on a donc 35 « tchin-tchin » de comptabilisés.
    • On choisit un autre convive (toujours n’importe lequel) parmi ceux qui n’ont pas encore été choisis (très important pour éviter les doublons de comptage !). Ce deuxième convive va donc pouvoir trinquer avec les 34 autres avec qui il n’a pas encore trinqué. À ce stade on a donc 35 + 34 = 69 « tchin-tchin » de comptabilisés.
    • À la troisième itération, toujours avec les mêmes conditions (on prend un convive qui n’a pas encore été choisi et on compte le nombre de personnes avec lesquelles il n’a pas encore trinqué, ici 33 convives restants. À ce stade on a donc 35 + 34 + 33 = 102 « tchin-tchin » de comptabilisés.
    • Et ainsi de suite jusqu’au dernier convive pour qui le nombre de personnes avec qui il n’a pas encore trinqué est égal à 0 (vu qu’il ne reste plus que lui…).

    Le total des « tchin-tchin » est donc : 35 + 34 + 33 +32 + 31 + … + 5 + 4 + 3 +2 + 1 + 0 = 630 « tchin-tchin ».

    On en déduit que le nombre de « tchin-tchin » (noté T(n) ci-après) en fonction du nombre de convives est donné par la formule suivante (cf image ci-jointe) :

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    pulsar

    Membre
    26 janvier 2021 à 0 h 57 min

    Et je précise que si dans la formule de T(n), on s’arrête à n-1 et non à n, c’est parce qu’on considère qu’une personne ne peut pas trinquer avec elle-même ! (Sauf à avoir deux verres simultanément, mais c’est un autre problème…)


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