Les paradoxes



  • Les paradoxes

    5f05abe2a555c bpthumb isabelle1970 mis à jour Il y a 6 mois, 3 semaines 4 Membres · 12 Messages
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    grandadais

    Membre
    4 mars 2020 à 22 h 50 min

    Salut

    je voulais entamer une discussion sur les paradoxes

    autant ceux qui ont été résolus que ceux qui continuent de faire tourner les mathématiques en bourrique

    pour commencer, je voulais savoir si vous aviez entendu parler des théorèmes d’incomplétude de Gödel?

    pour ceux qui ne connaissent pas, je me suis laissé aller à une petite introduction, car c’est un peu LE paradoxe, pour les maths du XXème siècle.

    avant de commencer par les écrire, sachez qu’il s’agit de résultats de mathématique rigoureusement démontrés, et vérifiés depuis plus de 60 ans par les logiciens les plus sérieux de la planètes (mais pourtant beaucoup essaient encore de réfuter, si bien que les téméraires finissent souvent par se trahir eux-même, et par rendre ces théorèmes encore plus indestructibles)

    • Théorème 1: Si un système formel est cohérent (= il n’implique aucune antinomie ; c’est à dire qu’il ne mènera pas à l’absurdité, une situation où l’on prouverait à la fois une proposition et son contraire), alors il existe un énoncé G qui est vrai, mais qui n’est pas prouvable dans ce système formel.

    Gödel avait utilisé le terme d’énoncé indécidable (c’est-à-dire qui ne pourra ni être prouvé ni réfuté), mais en fait il faut plus que la cohérence du système pour cela.

    • Théorème 2: Si un système formel est cohérent (et suffisamment expressif), alors il ne prouve pas sa propre cohérence.

    En gros l’énoncé G du 1er théorème dit un truc du genre “je ne suis pas prouvable”, qui ferait tourner en rond n’importe quel système formel, un peu comme dans le paradoxe du menteur. Et le deuxième dit qu’une théorie mathématique ne pourra jamais s’auto-justifier, et qu’ainsi la vérité en mathématique ne saurait jamais être absolue et définitive.

    Ces théorèmes déclarent en quelque sorte que les mathématiques du débuts du 20ème siècle s’était embarqué dans une voie sans issue. Il existait donc une impossibilité structurelle à l’intérieur même du programme de Hilbert, le boss de l’abstraction de l’époque, qui en bon prussien voulait faire des mathématiques un langage, un système formel clos sur lui-même, capable de séparer une bonne fois pour toute les énoncés, avec les vrais d’un côté et les faux de l’autre, se préservant ainsi à tout jamais de l’absurdité, avec la grâce d’axiomes savamment posés (les axiomes sont les énoncés donnés comme vrais, de façon arbitraire, c’est-à-dire sans démonstration, du genre x = x). Et bien Gödel arrive et montre très rigoureusement que ce programme est voué à l’échec, ou tout du moins à sa non-terminaison. Ainsi l’analogue de ces théorèmes en informatique est celui de l’indécidabilité de Turing, à savoir qu’il n’existe pas d’algorithme qui permettrait de savoir, pour tout algorithme si celui-ci terminera ou non, autrement dit, si il donnera effectivement un résultat, ou bien moulinera à l’infini.

    Systématiquement il existe donc des énoncés dont on ne pourra jamais trouver de leur valeur de vérité. Et la non-contradiction d’une théorie ne pourra jamais être prouvée à l’intérieur même de cette théorie, s’établir à partir d’elle-même. Résultat paradoxal que Gödel a sûrement dû trouver un peu malgré lui-même, lui qui œuvrait dans le cadre du formalisme hilbertien et en était un des plus éminents contributeurs. Il s’est avéré finalement qu’il en creusait la tombe. Il finissait par mourir quelques années plus tard de sa paranoïa, qui lui empêchait de manger.

    Si on élargit la porté de ce résultat au problème de la connaissance, cela enlevait aussi tout espoir aux projets les plus objectivistes, rationalistes, scientistes, appelé ça comme vous voulez, c’est à dire tous ceux qui croient en une strate objective et immédiate de la réalité qu’il faudrait venir débusquer derrière les apparences de manière strictement analytique. Projet vain car quoiqu’on fasse, une telle approche ressemblera forcément à cette machine qui ne cessera de mouliner sans jamais plus pouvoir se décider. Et c’est précisément pour éviter cette procrastination que le sujet est obligé de faire des choix quant à l’architecture de la science et de ses autres productions formels, sans jamais pouvoir affirmer sans aucun doute que ces choix seront les meilleurs. Cela nous ramène à nous contenter de certitudes temporaires, pour lesquelles le doute est raisonnablement levé, nous permettant encore de croire en ce qu’on fait. Beaucoup trouvent ces résultats désespérant, du genre cul-de-sac dont on ne sortira jamais, mais au contraire je les trouve libérateur car ils nous montrent le piège de tout totalitarisme soit-disant scientifique.

    Mais le besoin de croire étant plus fort, les mathématiques ont continué dans la même voie, en voulant coûte que coûte affirmer la cohérence des mathématiques par les mathématiques, et pour cela en imaginant des méta-systèmes qui venaient asseoir la cohérence du système précédent, méta-système qu’il fallait alors soutenir d’un autre méta-système, et ainsi de suite jusqu’à l’infini… et beaucoup de choses du genre. Les théorèmes de Gödel n’auront finalement entraîné de révolution copernicienne dans la logique mathématique que vers les années 70-80, quarante ans plus tard, par l’entremise de l’informatique et de la physique quantique. Sauf que depuis le rêve scientiste a continué de s’étendre, et une grande partie des scientifiques continuent de nous vendre le fantasme de l’intelligence artificielle comme le modèle à venir de la machine qui répondra à tout, en nous décharger définitivement de toute responsabilité, tout comme les politiques au pouvoir, et leurs “experts”, n’arrêtent pas de nous bassiner avec le réalisme économique et les vertus d’un marché qui saura prendre tout en main, tout seul comme un grand.

    m’enfin…je dérive ptet un chouilla, ou un peu trop vite, mais vous voyez l’idée

    je ne fais que m’intéresser à ces questions depuis peu, c’est assez passionnant

    en plus cela peut éclairer plein de domaines (par exemple quand on se rend compte que ces théorèmes et la logique qui en a émergé ensuite, apportent une lecture du fonctionnement du droit contemporain, où on observe que le non-lieu, celui qui ponctue la plupart des jugements pour fraudes financières, quand la décision ne peut plus être prononcé à cause d’une petite erreur de protocole, ou d’une virgule ambigüe, peut être interprété comme l’indécidabilité de Turing, ou comme le cercle vicieux de la logique contemporaine (alors qu’avant le cercle vicieux n’existait pas dans la logique d’avant 80 ; elle ne le comprenait pas, car géométriquement cette logique ne pouvait engendré de cercle, tout était en forme d’arbres, ce n’est qu’avec l’introduction des réseaux de démonstration que le cercle vicieux a pu apparaître visuellement). Le droit peut alors se voir comme un système formel, qui devient si on le prend trop objectivement, à la lettre, comme un gros gruyère plein de trous, faille sur lesquelles il est facile pour un régiment d’avocat de se concentrer, et ainsi faire tourner la machine judiciaire à vide…

    je dois aller un peu vite pour terminer cette présentation du sujet, donc voilà, si ça vous intéresse, au plaisir de vous lire et d’échanger là-dessus

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    grandadais

    Membre
    8 mars 2020 à 12 h 11 min

    hum… (raclement de gorge)

    je ne penser pas soulever les foules avec un post sur la logique mathématique, en pleine crise du coronavirus… mais à ce point!

    il peut être logique que personne ne trouvent quoi dire face à de gros panneaux “voie sans issue”… en général, après un truc du genre “oh, mince”, on fait demi-tour et on cherche autre chose, pas besoin d’en discuter midi à 14h.

    je m’attendais à un peu de répondant, même chez les non-matheux… comme tous les résultats scientifiques, ces théorèmes, ni même les logiques nouvelles nées par la suite, sur les cendres des logicisme et du formalisme auxquelles ces théorèmes ont mis historiquement fin, tout cela n’est pas sensé rester cloisonné à une discipline. au contraire c’est par les rebonds d’un domaine à l’autre que la connaissances a toujours progressé entre physique et mathématique, pas à pas… et c’est sans cesse que ces découvertes sont finalement réutilisée par la philosophie, l’art, et les autres sciences, jusqu’à acquérir un sens plus usuelle pour tout le monde.

    pour la petite histoire Gödel s’est fortement inspiré de 2 paradoxes plus anciens:

    – celui du menteur donc : “je mens, en ce moment même”

    – et celui de Richard : “le plus petit entier non définissable en moins de 25 mots”, nombre qui existe bien et que l’on vient de définir, en 11 mots.

  • 5f05abe2a555c bpthumb

    isabelle1970

    Membre
    8 mars 2020 à 12 h 23 min

    @grandadais ça fait longtemps que je me demande pourquoi tu n’as pas de réponse à ton post. En ce qui me concerne, c’est très simple : j’ai des lacunes ENORMES en math et physique (j’ai fait des études de latin grec et puis dans le social, et sans avoir eu mon “bac” donc je n’ai pas les bases habituelles dans ces domaines).

    Cependant, je “sens” que ton sujet est intéressant, en tout cas, il m’intrigue.

    Le mot “paradoxe” m’intrigue en lui-même .. je viens d’ailleurs de répondre à un autre post en disant “je suis intolérante à l’intolérance” ..; c’est un paradoxe non ? (bon, pas mathématique ni scientifique).

    J’espère vraiment que des personnes vont venir discuter ici parce que ça m’intéresse d’en apprendre plus même si je sais d’avance que je vais “piger” un mot sur trois ^^

    en terme d’apprentissage, tout est bon à prendre pour moi 😉

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    lolo

    Membre
    8 mars 2020 à 12 h 43 min

    Merci @isabelle1970 d’avoir posté. Je sentais @grandadais presque en souffrance (oui, j’exagère un peu) face à ce vent qu’il se prend (c’est un peu ça quand même) et je ne savais pas quoi dire pour lui venir en aide.

    Je pense aussi que nous avons TOUS nos paradoxes mais que l’entrée en matière a mis l’échelle trop haut en parlant des théorèmes d’incomplétude de Gödel…

    J’en avais zappé le titre très “fourre-tout” pour le coup…

  • 5f05abe2a555c bpthumb

    isabelle1970

    Membre
    8 mars 2020 à 12 h 51 min

    @LoLo moi aussi j’étais “triste” que personne ne réponde parce que je pense (même si je n’y connais rien) que le sujet est très intéressant . Tout comme toi, j’étais un peu “bloquée” par le côté math mais j’ai vu dans le profil de @grandadais qu’il me parait une personne très ouverte et avec cette envie d’échanger bienveillante^^ donc je me suis lancée hihi !

    Et le mot “paradoxe” m’interpelle de toute façon ! donc cessons de penser “non je n’ai pas le niveau” (ce qui dans mon cas est pourtant vrai) mais j’ai envie d’être dans l’angle de vision “j’ai envie d’apprendre et d’échanger nos paradoxes ^^ “

    Non @grandadais, ne prend surtout pas ça comme une sorte de “pitié”, c’est un mot et une connotation qui me débecte, c’est juste de ma part, un réel intérêt pour ce mot “paradoxe” et une impression que ce sujet en vaut la peine 🙂

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    grandadais

    Membre
    8 mars 2020 à 13 h 01 min

    pas besoin de connaissances en maths, je voulais savoir ce que cela pouvait évoquer, dans n’importe quel autre domaine. en économie comme en médecine ou n’importe quoi d’autre

    mais en effet j’ai peut-être pas présenté les théorèmes de manière assez claire…

    Le mot paradoxe: étymologiquement c’est ce qui heurte l’opinion ou l’intuition courante, la doxa.

    la cohérence, parfois appelé consistance, est la non contradiction d’un théorie…c’est à dire qu’elle n’amènera jamais à un terme et son contraire, à un énoncé et sa négation, c’est cela que l’on appelle l’antinomie, la contradiction dans les termes.

    les théorèmes de Gödel ne sont pas des antinomies, ce sont des résultats prouvés, qui montrent qu’un système de langage formel ne pourra jamais prouver par lui-même sa propre cohérence (le fait qu’il ne prouvera jamais quoique ce soit de faux). Mais ce sont bien des paradoxes car ils vont à l’encontre de du projet et de l’intuition initiale, qui espérait alors que toute vérité soit prouvable et que tous les énoncés faux réfutables…

    ta phrase je suis intolérante à l’intolérance, est donc assez antinomique oui.

    une des sources du théorèmes de Gödel provient de la technique du point fixe à laquelle cette phrase me fait penser… par exemple la première théorie de ensemble introduite par Cantor à la fin du 19ème siècle, établissait une équivalence entre une propriété et l’ensemble des éléments vérifiant cette propriété. et bien cette théorie est antinomique si on considère un ensemble très particulier, comme Russell l’a fait, considérant “l’ensemble des ensembles qui n’appartiennent pas à eux même”, qu’on appellera P. Et bien si P appartient à P, alors P n’appartient pas à P, et réciproquement…rien n’allait plus!

    l’honneur a été sauvé en disant que P n’est en fait pas un ensemble…mais une classe d’ensemble…et la théorie des ensembles a été modifié pour tenir debout. mais le problème des fondements des mathématiques restait sensible jusqu’à que Gödel vienne mettre le coup de grâce.

    idem en terme fonctionnelle, si la fonction f est ici “ne pas tolérer”, et bien ta phrases fait en quelque sorte intervenir la composition d’une fonction avec elle-même, f(f) = ne pas tolérer que l’on ne tolère pas. et bien souvent ce genre de d’opération induit des comportements divergeant, qui n’aboutiront jamais à quelque chose d’explicite.

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    grandadais

    Membre
    8 mars 2020 à 13 h 07 min

    haha, merci pour votre soutien !

    mais en vrai non ça va, je le vis très bien, jvais pas en faire une jaunisse si personne veut discuter de ça

    c’est pas un sujet très évident faut dire, et peu confortable surtout

    et puis moi-même ça commence déjà à me fatiguer d’en parler… je me faire un petit jus d’orange tiens

  • 5f05abe2a555c bpthumb

    isabelle1970

    Membre
    8 mars 2020 à 13 h 14 min

    @grandadais du coup ça m’a fait me poser une question : quelle est la nuance entre paradoxe et sophisme ? comme ça, sur le coup , j’aurais tendance à penser à la motivation. Je peux me tromper mais je pense qu’un paradoxe part d’un raisonnement juste mais que le sophisme peut être utilisé avec une intention d’induire un “faux raisonnement” ( euh .. Hum raclement de gorge comme toi ^^ .. je me demande si je suis claire et si je ne dis pas une énorme bêtise ! mais au pire, elle sera réctifiée ou nuancée et donc j’apprendrai ^^)

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    zelos

    Membre
    8 mars 2020 à 13 h 54 min

    @grandadais

    Oy !

    Alors, je pensais au début que tu parlais de paradoxes au niveau de la nature humaine ou autres concepts philosophiques, mais tu fais le parallèle à la fin, les 2 domaines se rejoignent, je suis d’accord.

    Je précise que je suis loin d’être un expert en Maths, même si je trouve ça passionnant. La logique des chiffres me parle, mais je n’ai jamais fait d’études avancées dans ce domaine.

    Il y avait une série assez top, Numb3rs, j’ai appris pas mal de trucs sur comment l’on peut utiliser les Maths concrètement. Je trouvais les principes très clairs, mais ne me demande pas d’effectuer les calculs héhé. Tiens, le personnage principal essayait de résoudre P vs NP quand il n’allait pas bien.

    Je donne ce contexte pour dire que je veux bien discuter du fond, mais je risque de galérer pour la forme si l’on part dans des calculs complexes, même si je me remets à niveau en Maths depuis que je fais de la programmation ; ça revient assez vite les calculs d’algèbre du lycée et je trouve les algorithmes passionnants, mais on est encore loin du niveau de gros matheux^^.

    Dans le vif du sujet maintenant.

    Ce que tu dis au niveau des théorèmes qui ne peuvent se prouver si on les passes eux-mêmes en temps qu’expression dans leur programme.
    Ben, quand on y réfléchit, une règle a la base n’est-elle pas forcément arbitraire ? Quand l’on parle de logique, de cohérence ou évidence, c’est toujours à partir d’une base, d’une règle énoncée.

    Et ça s’applique en Maths je pense, il a bien fallu énoncer 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 comme base, avant de partir de cette base et d’en effectuer des opérations.
    Il y a d’ailleurs d’autres bases, comme le binaire (base 2) ou l’octal (base 8) ; je ne te dis pas la prise de tête quand mon pote me parla de Linux pour la première fois en me disant que 0777 était la notation numérique en base 8 de -rwxrwxrwx. 😀

    Donc, comme tu dis, on cherche toujours à aller loin au niveau de l’origine de la règle, presque comme si l’on pourrait ainsi accéder un jour à l’illumination et l’omniscience.
    Mais, en partant du principe que ce soit possible (ce dont je doute fortement), s’il n’y avait plus rien à découvrir, le monde ne deviendrait-il pas un peu méga chiant et ennuyeux ?

    Par contre, n’y a-t-il pas moyen d’utiliser de nouvelles règles et systèmes, d’essayer d’en créer, et de voir ce que l’on peut en tirer par la suite au niveau applicatif ?

    Pour l’intelligence artificielle.

    Héhé, merci d’en parler, j’en débats souvent de ça. Pour moi, “intelligence artificielle”, c’est un oxymore et ça n’existera jamais. L’idée qu’une machine pourra réfléchir et remplacer le cerveau humain est aberrante.
    Une machine ou un programme qui fait quelque chose automatiquement, c’est parce qu’elle a dans sa base de données des réponses possibles, elle utilise des algorithmes, elle ne fait rien par elle-même. C’est plutôt celui qui va créer le système qui est intelligent, et un système parfait/infaillible n’existe pas, il y aura toujours besoin d’un être humain pour assurer la maintenance, régler les problèmes et bugs éventuels ; car même si l’on essaie de couvrir le maximum de cas et possibilités, le risque 0 n’existe pas (Coronavirus^^).

    D’ailleurs, rien ne se fait automatiquement, le moindre truc qui a l’air simple et évident passe par des lignes de code, et le “vrai” aléatoire n’existe pas (un programme qui choisit une réponse au hasard ne la choisit pas vraiment au hasard).

    Donc dès qu’il y aura besoin d’analyser et réfléchir sur quelque chose qui va sortir des paramètres de sa base de données et de son programme, la machine “does not compute” va péter un câble.^^

    Autre débat, les gens relient trop sur les trucs automatiques maintenant, ils ne sont même plus capables par exemple d’effectuer un calcul tout con sans calculette ou smartphone, ils s’abêtissent de jour en jour. Les gens auront bientôt besoin d’une application pour leur dire de penser à se torcher le cul ou d’aller aux toilettes…

    celui du menteur donc : “je mens, en ce moment même”

    Je suppose que c’est un truc du genre :

    Il ment en disant qu’il ment, donc il dit la vérité tout en mentant.
    Il dit la vérité en disant qu’il ment, donc les 2 encore.
    Comment savoir quel est le bon cas “ment-il parce qu’il dit la vérité ou dit-il la vérité car il ment ?

    et celui de Richard : “le plus petit entier non définissable en moins de 25 mots”, nombre qui existe bien et que l’on vient de définir, en 11 mots

    On m’appelle (prénom :D) ?
    Ca, c’est un truc du genre en disant que quelque chose n’est pas définissable, c’est une manière de le définir non ? Et juste pour faire chier haha, je viens de vérifier, vingt-cinq = 2 mots, donc 12 mots pour définir le truc.

    http://www.h-k.fr/publications/data/20r.ps/20r.ps.comment-compter-les-mots.pdf

    On pourrait rigoler avec la case HP qui est faite pour ceux qui ne rentrent pas dans des cases, pan on a notre case définie en fait, remboursez !

    Bon voilà pour le moment, mais ça m’intéresse !

    Au niveau des paradoxes, y a aussi l’œuf ou la poule, mais pas passionnant.
    J’en ai vu un récemment très intéressant par contre, “hangman’s paradox”, j’ai galéré pour retrouver l’équivalent français sur Wikipédia. Je mets les deux liens et je m’arrête là, sinon le pavé ne se finira jamais^^.

    https://en.wikipedia.org/wiki/Unexpected_hanging_paradox

    https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_l%27interrogation_surprise

    @isabelle1970

    Y a aussi un de mes préférés, il est interdit d’interdire.

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    lolo

    Membre
    8 mars 2020 à 14 h 47 min

    Les gens auront bientôt besoin d’une application pour leur dire de penser à se torcher le cul ou d’aller aux toilettes…

    @Zelos

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    grandadais

    Membre
    9 mars 2020 à 16 h 36 min

    salut @Zélos,

    pour ce qui est de la nécessité des règles et des bases, c’est un peu toute la question. déjà il faut bien distinguer les règles des axiomes. les règles sont les opérations autorisées, ce qu’il est possible de faire en terme d’architecture de la démonstration. si on suit ta terminologie, les axiomes sont la base oui, les fondations que l’on a préalablement établi comme vrai, car se vérifiant de manière évidente, par le bon sens ou une rapide observation.

    Ces axiomes sont du domaine de l’évidence, mais pas toujours quelque soit le domaine, bien sûr, les axiomes changent habituellement selon la discipline, ou l’espace où l’on travaille. Par exemple la géométrie euclidienne énonce l’axiome selon lequel “par un point situé en dehors d’une droite (d) passe une seule droite parallèle à la droite (d)”…sur le papier, en regardant l’horizon, ou la trace des avions ça semble aller de soi. mais cet axiome n’est plus du tout vérifié en géométrie sphérique par exemple, où cette fois c’est une infinité de droites parallèles qui peuvent passer par ce point. les axiomes sont donc effectivement les résultats de choix subjectifs, ici par exemple celui d’un espace. Pourtant ils sont souvent présentés comme des faits objectifs et réalistes, qui serait constitutif du réel, alors qu’ils émanent de présupposés bien souvent dissimulés, sinon ignorés, ou mis au second plan, les présupposés pourraient être complètement évacué par un système fait d’axiomes vrais et de règle préservant leur vérité. c’est en plaquant ces conceptions de la vérité et de la réalité, que la sémantique opérait un glissement très malheureux, en dotant les axiomes d’une sorte d’assise réaliste et impartiale. Et c’est ainsi que l’on s’est enfermé dans un aplanissement des formes que prenait le raisonnement. Les axiomes et les règles régissant les tableaux de valeur de vérité sont systématiquement plus proche de la lapalissade que d’un choix porteur d’une signification plus ou moins intéressante: par exemple, A&B est vrai, quand A et B sont vrais ; ou non A est vrai, quand A n’est pas vrai… et bah super! en plus les axiomes sont vrais, et les règles préservent la vérité, alors c’est bon, pas de problème quoi!

    pas moyen d’avoir de lecture intéressante d’une telle logique, mais tout va bien, on est content, on va pouvoir en faire des arbres, peut-être même assez pour reboiser l’Amazonie. le théorème de Gödel dit qu’il n’y pas moyen d’envisager toute les questions, avec pareil architecture, la vérité ne coïncider pas avec la prouvabilité.

    et donc oui l’idée de preuve, c’est quand à partir d’une suite d’hypothèses données, tu arrives au résultat à prouver, par une applications de règles structurelles et logiques bien définies.

    dans la logique classique le mot hypothèse est remplacé par axiome, et tout théorème démontré à partir de ce système d’axiomes, peut être considéré comme un nouvel axiome, une base avancée en quelque sorte. L’objectif est ici de pouvoir parcourir l’arbre de démonstrations depuis le tronc, l’énoncé prouvé, en remontant jusqu’aux feuilles, les axiomes. Il n’y a qu’une seule règle de déduction, le modus ponens: sous l’hypothèse A, si je montre que A implique B, alors j’ai B (sous l’hypothèse A). la logique d’avant gödel repose sur une sorte d’amalgame entre implication logique et raisonnement hypothétique. dans l’implication logique classique, que je note A ->B, le passage de l’un à l’autre est comme hors du temps, essentialisé. on ne se préoccupe pas de savoir l’état du A, ni s’il est vraiment encore utilisable, on ne considère que l’application elle-même, ce qu’elle doit faire. L’implication A – > B peut donc être vu comme une application qui peut transformer à l’infini une preuve de A en preuve de B… mais as-t-on toujours de ce A en quantité illimitée, quand on le veut? l’étude approfondie des conséquences de la réutilisation, de la duplication des hypothèses, couplés aux généralisations, mènent à des calculs divergents, interminables. c’est pourquoi la logique du 20ème siècle s’attachera à différencier l’implication (A implique B) du séquent hypothètique : B sous l’hypothèse A, et dans cette deuxième nuance, le A n’est plus inusable, il faut détruire A pour obtenir B. La vérité d’un énoncé devenant limitée, non pérenne, le raisonnement sous hypothèses évoque un contrat du genre: donne moi A et je te rendrai B…l’hypothèse pourrait ainsi être vu comme une monnaie: le paiement permettra bien l’acquisition d’une conclusion, mais de l’argent sera parti dans l’affaire. c’est ainsi que l’on a introduit une forme d’usure, et de localisation des hypothèses.

    en plus, la logique du 20ème siècle n’optera que pour un axiome, celui d’identité : “A est A, et réciproquement”. Mais les règles sont plus nombreuses, et tout se jouera sur l’architecture et l’influence de ces règles, c’est pourquoi on peut dire que la logique a peu à peu arrêté de vouloir déterminer les “règles définitives” de la logique, pour se concentrer par un renversement de perspective sur la logique des règles. C’est dans cet élan qu’ont été crée la logique linéaire et les réseaux de démonstrations dans les années 1970, où une preuve n’est plus un arbre que l’on parcourt dans une direction, mais un réseau où les axiomes, dégradés au rang d’hypothèses, sont connecté au niveau des feuilles avec les négation de ces mêmes hypothèses, et donc de proche en proche avec les arbres de raisonnement formés à partir de ces négations. Au final la réponse, la preuve d’un énoncé, se matérialise alors par la manière de parcourir un réseau, parcours non déterminé à priori par une seule et même forme.

    mais alors, me direz-vous, pourquoi une hypothèse A et sa négation (non A) seraient elle en lien? on a l’un ou l’autre normalement?… classiquement oui, mais donc c’est aussi parce qu’il ne s’agit plus de la négation classique, mais de la négation linéaire de A, notée ~A… contrairement à la négation classique, où un énoncé est exclusif vis à vis de sa négation de par ce qu’on appelle le tiers-exclu (je ne peux pas avoir à la fois A et non A), et bien en logique linéaire, un énoncé A repose sur sa négation ~A et vice-versa, l’un formate et teste l’autre, et réciproquement, tout comme le voleur ~A teste aussi le gendarme A, pendant que le ce dernier cherche à attraper ~A en flagrant délit. Les épreuves que fait passer l’un sont exactement les éléments de réponse, les témoins que l’autre recherche. la vérité est alors envisageable comme une dualité, deux machines en dialogue, l’une prouvant A et l’autre ~A. La vérité devient d’une certaine manière un jeu interactif entre deux énoncés inverses qui se teste mutuellement. Comme avant, la preuve de A pourrait essayer de piéger le voleur et de le foutre en taule, en tant qu'”énoncé définitivement faux”. En logique classique, cette réfutation de non.A), à savoir non.non.A) équivaut à A : la négation d’une négation, vaudrait affirmation… mais est-ce vraiment tenable? quand on utilise une litote, dit-on vraiment la même chose que sans litote… la forme et le fond sont-ils aussi séparable et indépendant l’un de l’autre? selon cette nouvelle logique, fond et forme deviennent une seule et même chose envisagé sous deux rapports différents, le même sens, mais qui s’affiche explicitement dans la forme, et implicitement dans le fond. De ce point de vue, peut-on dire que A et non non A ont le même sens, le même fond, alors qu’il ne s’écrivent déjà pas pareil, et que le sens n’est de toute évidence pas le même, entre un parrain qui propose une offre “que l’on ne pourra pas refuser”, et une offre que l’on acceptera? de manière sensible, la double négation semble dire quelque chose de moins, tout en en disant plus, elle cache quelque chose. La logique intuitionniste nie l’équivalence de A et non.non.A, car elle refuse le principe du tiers-exclus, jugé irrecevable dans le domaine infini, en justifiant cette position par l’argument qu’aucune machine ne pourrait procéder à une infinité de vérification, c’est ici qu’il faire subsister un doute, avec l’intrusion de l’infini, doute complètement évacué par la logique classique. La logique intuitionnistes dès les années 30, bien que restant dans l’ombre du scientisme, effectuait en quelque sorte un revirement qualifié d’existentialiste, parce que s’intéressant à la calculabilité, à la dynamique et la géométrie des objets qu’elle manipule, plus qu’à leur essence, leur valeur de vérité ou une vague sémantique.

    je n’ai clairement pas le recul synthétique pour bien parler de tout ça, mais pour se rendre compte des apports des nouveaux systèmes logiques, on peut constater que cette façon d’envisager le raisonnement a mené à des esthétiques de démonstration beaucoup moins stéréotypée que le sempiternel arbre de raisonnement, et surtout beaucoup plus significative, dans les formes qu’il est amené à prendre. par exemple on peut par les réseaux de démonstration reconnaître les cercle vicieux, alors qu’avant on ne pouvait bien sûr jamais en observer dans le raisonnement en arborescence, ce piège était alors impossible à modéliser, il n’existait pas.

    et donc oui zélos, concernant le 0 à 9 comme base, ou le bit 0/1, c’est effectivement important dans l’écriture d’un langage, mais le théorème d’incomplétude ne parle pas de ça. le fait est que ces bases permettent avant tout de coder les nombres entiers, et que ces derniers ne proviennent eux pas d’un choix arbitraire. Le nombre entier 4 a bien un sens en lui-même, que tu l’écrives 4, IV, llll ou 0b100 n’y change rien, c’est toujours quatre, le nombre entier que l’on obtient en rajoutant un baton à trois bâtons ainsi on peut exprimer l’équivalence dans un comptage d’objets dénombrables, et répondre ainsi de la même manière, qu’on ait trouvé 4 champignons ou 4 coquillages: en montrant 4 doigts…. C’est pourquoi les nombres entiers ont un statut si particulier, car tous les autres nombres (l’ensemble des nombres réels) peuvent s’exprimer en terme de limite de suites ou de séries à coefficients rationnels, nombres rationnels qui eux-même se construisent à partir des nombres entiers… mais au delà on ne peut plus rien dévisser dans les nombres, les entiers sont là, ils existent par eux-même, et c’est cela qui a fait dire à Kronecker que les mathématiques était une construction presque totalement humaine, où seuls les nombres entiers ont été “donnés par Dieu”.

    l’arithmétique a donc quand même plus qu’un peu les moyen de parler d’elle-même, tout comme n’importe quel langage peut se réfléchir lui-même et se prendre comme objet. elle n’a pas besoin d’une référence externes pour cela. Mais même avec cette capacité, un système formel cohérent ne peut pas prouver sa propre cohérence, c’est plus profond qu’un problème d’expressivité du langage ou de capacité d’auto-réflexion.

    @isabelle1970, ce que tu dis n’est pas idiot non. un paradoxe est un énoncé démontré ou irréfutable qui heurte l’opinion, et qui appelle à une remise en cause de nos intuitions. Mais il n’y a pas d’intentionnalité dans le fait de l’énoncer (d’autant plus dans le cas où le mathématicien ne s’attendait pas à arriver à un tel résultat), alors que le sophisme, selon l’opinion commune en tous cas, se caractérise par une utilisation abusive des paradoxes et du relativisme, afin de réfuter tout raisonnement un tant soit peu objectif. et même si le grand opposant des sophistes, Platon, instituaient ses idées comme essentielles d’une manière un peu brute, et qu’en cela il est critiquable, du moins gardait-il une certaine croyance en ce qu’il disait, et gardait sa pensée ouverte au dialogue, Les sophistes à l’inverse, en mettant tout en doute, devaient donner l’impression de parler sans plus croire un seul mot de ce qu’ils disaient… après, le sophisme c’est une catégorie un peu fourre-tout, certains devaient dire des choses tout à fait valable parfois. à mon avis, sophistes et platoniciens ne pouvaient juste plus se piffrer, et donc plus du tout capable de se comprendre les uns des autres, incapable de voir comment dépasser leur contradictions. Et bah c’est un peu comme la querelle entre les logiciens classiques derrière Hilbert et les intuitionnistes derrière Brouwer… l’un et l’autre ont fini par se replier sur des positions de plus en plus extrémistes: ainsi l’intuitionnisme, qui voulait initialement réintroduire le sujet dans la logique, plongera finalement vers une position entièrement subjectiviste, à la limite du solipsisme… donc voilà ça évolue rarement bien les querelles de chapelles, de toute façon, aussi bien au 20ème siècle qu’à l’antiquité.

    bref… en espérant que vous aurez pu tirer un peu de clarté de ce charabia.

    je me suis encore rendu compte en écrivant que je manquais cruellement de mobilier et que je n’étais pas bien installé du tout pour de si gros pavés… j’ai donc un peu abrégé. mais si des points demandent à être développé n’hésitez pas, je pourrai répondre bientôt. et puis ça ne fait pas si longtemps que je m’intéresse au sujet, possible qu’il y ait quelques imprécisions dans le choix des mots…

    bonne fin de journée!

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    isabelle1970

    Membre
    9 mars 2020 à 19 h 10 min

    @grandadais je savais que j’aurais pu aller bien sur, chercher une réponse par moi-même . Je remercie ma fainéantise parce que j’aurais dû faire probablement plusieurs sites différents pour avoir une réponse aussi complète et compréhensible que la tienne , donc un grand merci à toi d’avoir pris ce temps 🙂


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